Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6818 / 10655
↖ ↑ ↗
← S 47.502359°
W 30.190430°		 ← 1 650.54 m → S 47.502359°
W 30.168457°		 →
↑
1 650.28 m
↓
↑
1 650.28 m
↓
S 47.517200°
W 30.190430°		 ← 1 650.07 m →
2 723 465 m²		 S 47.517200°
W 30.168457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416168212890625 y=0.650360107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416168212890625 × 214)
    floor (0.416168212890625 × 16384)
    floor (6818.5)     		tx = 6818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650360107421875 × 214)
    floor (0.650360107421875 × 16384)
    floor (10655.5)     		ty = 10655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6818 / 10655 ti = "14/6818/10655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6818/10655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6818 ÷ 214
    6818 ÷ 16384     		x = 0.4161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10655 ÷ 214
    10655 ÷ 16384     		y = 0.65032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4161376953125 × 2 - 1) × π
    -0.167724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52692240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65032958984375 × 2 - 1) × π
    -0.3006591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.944548670113586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52692240} λ = -0.52692240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944548670113586))-π/2
    2×atan(0.388855033201051)-π/2
    2×0.37086188031854-π/2
    0.74172376063708-1.57079632675     		φ = -0.82907257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52692240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.190430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82907257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.502359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6818 KachelY 10655 -0.52692240 -0.82907257 -30.190430 -47.502359
    Oben rechts KachelX + 1 6819 KachelY 10655 -0.52653891 -0.82907257 -30.168457 -47.502359
    Unten links KachelX 6818 KachelY + 1 10656 -0.52692240 -0.82933160 -30.190430 -47.517200
    Unten rechts KachelX + 1 6819 KachelY + 1 10656 -0.52653891 -0.82933160 -30.168457 -47.517200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82907257--0.82933160) × R
    0.000259029999999938 × 6371000     		dl = 1650.2801299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82907257--0.82933160) × R
    0.000259029999999938 × 6371000     		dr = 1650.2801299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52692240--0.52653891) × cos(-0.82907257) × R
    0.000383490000000042 × 0.675559849425457 × 6371000     		do = 1650.53781564663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52692240--0.52653891) × cos(-0.82933160) × R
    0.000383490000000042 × 0.675368842609735 × 6371000     		du = 1650.07114496947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82907257)-sin(-0.82933160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675559849425457-0.675368842609735)×R²
    abs(-0.52653891--0.52692240)×0.000191006815721706×R²
    0.000383490000000042×0.000191006815721706×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191006815721706×40589641000000     		ar = 2723464.70752978m²