Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68178 / 69315
↖ ↑ ↗
← S 10.323026°
E  7.256470°		 ← 300.48 m → S 10.323026°
E  7.259217°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.325728°
E  7.256470°		 ← 300.48 m →
90 281 m²		 S 10.325728°
E  7.259217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520160675048828 y=0.528835296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520160675048828 × 217)
    floor (0.520160675048828 × 131072)
    floor (68178.5)     		tx = 68178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528835296630859 × 217)
    floor (0.528835296630859 × 131072)
    floor (69315.5)     		ty = 69315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68178 / 69315 ti = "17/68178/69315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68178/69315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68178 ÷ 217
    68178 ÷ 131072     		x = 0.520156860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69315 ÷ 217
    69315 ÷ 131072     		y = 0.528831481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520156860351562 × 2 - 1) × π
    0.040313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12664929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528831481933594 × 2 - 1) × π
    -0.0576629638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.181153543664192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12664929} λ = 0.12664929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181153543664192))-π/2
    2×atan(0.834307246268961)-π/2
    2×0.695312769256355-π/2
    1.39062553851271-1.57079632675     		φ = -0.18017079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12664929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.256470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18017079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.323026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68178 KachelY 69315 0.12664929 -0.18017079 7.256470 -10.323026
    Oben rechts KachelX + 1 68179 KachelY 69315 0.12669723 -0.18017079 7.259217 -10.323026
    Unten links KachelX 68178 KachelY + 1 69316 0.12664929 -0.18021795 7.256470 -10.325728
    Unten rechts KachelX + 1 68179 KachelY + 1 69316 0.12669723 -0.18021795 7.259217 -10.325728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18017079--0.18021795) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dl = 300.45635999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18017079--0.18021795) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dr = 300.45635999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12664929-0.12669723) × cos(-0.18017079) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983813101978446 × 6371000     		do = 300.481844693439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12664929-0.12669723) × cos(-0.18021795) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983804649925531 × 6371000     		du = 300.479263218923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18017079)-sin(-0.18021795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983813101978446-0.983804649925531)×R²
    abs(0.12669723-0.12664929)×8.45205291499784e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.45205291499784e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.45205291499784e-06×40589641000000     		ar = 90281.2935091671m²