Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68176 / 69009
↖ ↑ ↗
← S  9.495117°
E  7.250976°		 ← 301.24 m → S  9.495117°
E  7.253723°		 →
↑
301.22 m
↓
↑
301.22 m
↓
S  9.497826°
E  7.250976°		 ← 301.24 m →
90 740 m²		 S  9.497826°
E  7.253723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520145416259766 y=0.526500701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520145416259766 × 217)
    floor (0.520145416259766 × 131072)
    floor (68176.5)     		tx = 68176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526500701904297 × 217)
    floor (0.526500701904297 × 131072)
    floor (69009.5)     		ty = 69009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68176 / 69009 ti = "17/68176/69009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68176/69009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68176 ÷ 217
    68176 ÷ 131072     		x = 0.5201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69009 ÷ 217
    69009 ÷ 131072     		y = 0.526496887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5201416015625 × 2 - 1) × π
    0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526496887207031 × 2 - 1) × π
    -0.0529937744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.166484852380455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12655341} λ = 0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.166484852380455))-π/2
    2×atan(0.846635641352898)-π/2
    2×0.702537635119162-π/2
    1.40507527023832-1.57079632675     		φ = -0.16572106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16572106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.495117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68176 KachelY 69009 0.12655341 -0.16572106 7.250976 -9.495117
    Oben rechts KachelX + 1 68177 KachelY 69009 0.12660135 -0.16572106 7.253723 -9.495117
    Unten links KachelX 68176 KachelY + 1 69010 0.12655341 -0.16576834 7.250976 -9.497826
    Unten rechts KachelX + 1 68177 KachelY + 1 69010 0.12660135 -0.16576834 7.253723 -9.497826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16572106--0.16576834) × R
    4.72799999999829e-05 × 6371000     		dl = 301.220879999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16572106--0.16576834) × R
    4.72799999999829e-05 × 6371000     		dr = 301.220879999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12655341-0.12660135) × cos(-0.16572106) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986299663137811 × 6371000     		do = 301.241304475594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12655341-0.12660135) × cos(-0.16576834) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986291862558545 × 6371000     		du = 301.238921977899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16572106)-sin(-0.16576834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986299663137811-0.986291862558545)×R²
    abs(0.12660135-0.12655341)×7.80057926619282e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.80057926619282e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.80057926619282e-06×40589641000000     		ar = 90739.8120143439m²