Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68174 / 69369
↖ ↑ ↗
← S 10.468907°
E  7.245483°		 ← 300.34 m → S 10.468907°
E  7.248230°		 →
↑
300.27 m
↓
↑
300.27 m
↓
S 10.471607°
E  7.245483°		 ← 300.34 m →
90 182 m²		 S 10.471607°
E  7.248230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520130157470703 y=0.529247283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520130157470703 × 217)
    floor (0.520130157470703 × 131072)
    floor (68174.5)     		tx = 68174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529247283935547 × 217)
    floor (0.529247283935547 × 131072)
    floor (69369.5)     		ty = 69369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68174 / 69369 ti = "17/68174/69369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68174/69369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68174 ÷ 217
    68174 ÷ 131072     		x = 0.520126342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69369 ÷ 217
    69369 ÷ 131072     		y = 0.529243469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520126342773438 × 2 - 1) × π
    0.040252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12645754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529243469238281 × 2 - 1) × π
    -0.0584869384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.183742136243675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12645754} λ = 0.12645754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183742136243675))-π/2
    2×atan(0.832150357579697)-π/2
    2×0.69403972027137-π/2
    1.38807944054274-1.57079632675     		φ = -0.18271689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12645754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.245483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18271689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.468907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68174 KachelY 69369 0.12645754 -0.18271689 7.245483 -10.468907
    Oben rechts KachelX + 1 68175 KachelY 69369 0.12650548 -0.18271689 7.248230 -10.468907
    Unten links KachelX 68174 KachelY + 1 69370 0.12645754 -0.18276402 7.245483 -10.471607
    Unten rechts KachelX + 1 68175 KachelY + 1 69370 0.12650548 -0.18276402 7.248230 -10.471607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18271689--0.18276402) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dl = 300.26523000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18271689--0.18276402) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dr = 300.26523000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12645754-0.12650548) × cos(-0.18271689) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983353658614192 × 6371000     		do = 300.341518863924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12645754-0.12650548) × cos(-0.18276402) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983345093911306 × 6371000     		du = 300.338902983207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18271689)-sin(-0.18276402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983353658614192-0.983345093911306)×R²
    abs(0.12650548-0.12645754)×8.56470288546074e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.56470288546074e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.56470288546074e-06×40589641000000     		ar = 90181.7225279352m²