Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68173 / 68697
↖ ↑ ↗
← S  8.648911°
E  7.242737°		 ← 301.95 m → S  8.648911°
E  7.245483°		 →
↑
301.99 m
↓
↑
301.99 m
↓
S  8.651627°
E  7.242737°		 ← 301.95 m →
91 185 m²		 S  8.651627°
E  7.245483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520122528076172 y=0.524120330810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520122528076172 × 217)
    floor (0.520122528076172 × 131072)
    floor (68173.5)     		tx = 68173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524120330810547 × 217)
    floor (0.524120330810547 × 131072)
    floor (68697.5)     		ty = 68697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68173 / 68697 ti = "17/68173/68697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68173/68697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68173 ÷ 217
    68173 ÷ 131072     		x = 0.520118713378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68697 ÷ 217
    68697 ÷ 131072     		y = 0.524116516113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520118713378906 × 2 - 1) × π
    0.0402374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12640960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524116516113281 × 2 - 1) × π
    -0.0482330322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.151528539698997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12640960} λ = 0.12640960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151528539698997))-π/2
    2×atan(0.859393355095255)-π/2
    2×0.709922176220585-π/2
    1.41984435244117-1.57079632675     		φ = -0.15095197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12640960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.242737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15095197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.648911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68173 KachelY 68697 0.12640960 -0.15095197 7.242737 -8.648911
    Oben rechts KachelX + 1 68174 KachelY 68697 0.12645754 -0.15095197 7.245483 -8.648911
    Unten links KachelX 68173 KachelY + 1 68698 0.12640960 -0.15099937 7.242737 -8.651627
    Unten rechts KachelX + 1 68174 KachelY + 1 68698 0.12645754 -0.15099937 7.245483 -8.651627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15095197--0.15099937) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dl = 301.985400000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15095197--0.15099937) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dr = 301.985400000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12640960-0.12645754) × cos(-0.15095197) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98862836930324 × 6371000     		do = 301.952551279412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12640960-0.12645754) × cos(-0.15099937) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988621240211683 × 6371000     		du = 301.950373871348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15095197)-sin(-0.15099937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98862836930324-0.988621240211683)×R²
    abs(0.12645754-0.12640960)×7.12909155664576e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.12909155664576e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.12909155664576e-06×40589641000000     		ar = 91184.9332234875m²