Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68172 / 72364
↖ ↑ ↗
← S 18.427502°
E  7.239990°		 ← 289.70 m → S 18.427502°
E  7.242737°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
S 18.430108°
E  7.239990°		 ← 289.70 m →
83 942 m²		 S 18.430108°
E  7.242737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520114898681641 y=0.552097320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520114898681641 × 217)
    floor (0.520114898681641 × 131072)
    floor (68172.5)     		tx = 68172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552097320556641 × 217)
    floor (0.552097320556641 × 131072)
    floor (72364.5)     		ty = 72364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68172 / 72364 ti = "17/68172/72364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68172/72364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68172 ÷ 217
    68172 ÷ 131072     		x = 0.520111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72364 ÷ 217
    72364 ÷ 131072     		y = 0.552093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520111083984375 × 2 - 1) × π
    0.04022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12636167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552093505859375 × 2 - 1) × π
    -0.10418701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.327313150605743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12636167} λ = 0.12636167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327313150605743))-π/2
    2×atan(0.720857970567923)-π/2
    2×0.624587872237761-π/2
    1.24917574447552-1.57079632675     		φ = -0.32162058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12636167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.239990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32162058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.427502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68172 KachelY 72364 0.12636167 -0.32162058 7.239990 -18.427502
    Oben rechts KachelX + 1 68173 KachelY 72364 0.12640960 -0.32162058 7.242737 -18.427502
    Unten links KachelX 68172 KachelY + 1 72365 0.12636167 -0.32166606 7.239990 -18.430108
    Unten rechts KachelX + 1 68173 KachelY + 1 72365 0.12640960 -0.32166606 7.242737 -18.430108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32162058--0.32166606) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dl = 289.753079999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32162058--0.32166606) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dr = 289.753079999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12636167-0.12640960) × cos(-0.32162058) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948724391550271 × 6371000     		do = 289.704406114315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12636167-0.12640960) × cos(-0.32166606) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948710014138304 × 6371000     		du = 289.700015798611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32162058)-sin(-0.32166606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948724391550271-0.948710014138304)×R²
    abs(0.12640960-0.12636167)×1.43774119667484e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43774119667484e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43774119667484e-05×40589641000000     		ar = 83942.1079218261m²