Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68172 / 69468
↖ ↑ ↗
← S 10.736175°
E  7.239990°		 ← 300.02 m → S 10.736175°
E  7.242737°		 →
↑
300.07 m
↓
↑
300.07 m
↓
S 10.738874°
E  7.239990°		 ← 300.01 m →
90 027 m²		 S 10.738874°
E  7.242737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520114898681641 y=0.530002593994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520114898681641 × 217)
    floor (0.520114898681641 × 131072)
    floor (68172.5)     		tx = 68172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530002593994141 × 217)
    floor (0.530002593994141 × 131072)
    floor (69468.5)     		ty = 69468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68172 / 69468 ti = "17/68172/69468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68172/69468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68172 ÷ 217
    68172 ÷ 131072     		x = 0.520111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69468 ÷ 217
    69468 ÷ 131072     		y = 0.529998779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520111083984375 × 2 - 1) × π
    0.04022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12636167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.05999755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.188487889306061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12636167} λ = 0.12636167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.188487889306061))-π/2
    2×atan(0.828210533582195)-π/2
    2×0.691707357672518-π/2
    1.38341471534504-1.57079632675     		φ = -0.18738161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12636167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.239990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18738161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.736175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68172 KachelY 69468 0.12636167 -0.18738161 7.239990 -10.736175
    Oben rechts KachelX + 1 68173 KachelY 69468 0.12640960 -0.18738161 7.242737 -10.736175
    Unten links KachelX 68172 KachelY + 1 69469 0.12636167 -0.18742871 7.239990 -10.738874
    Unten rechts KachelX + 1 68173 KachelY + 1 69469 0.12640960 -0.18742871 7.242737 -10.738874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18738161--0.18742871) × R
    4.70999999999944e-05 × 6371000     		dl = 300.074099999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18738161--0.18742871) × R
    4.70999999999944e-05 × 6371000     		dr = 300.074099999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12636167-0.12640960) × cos(-0.18738161) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98249537450224 × 6371000     		do = 300.016782023624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12636167-0.12640960) × cos(-0.18742871) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.982486599295676 × 6371000     		du = 300.014102408734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18738161)-sin(-0.18742871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98249537450224-0.982486599295676)×R²
    abs(0.12640960-0.12636167)×8.7752065642821e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.7752065642821e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.7752065642821e-06×40589641000000     		ar = 90026.8638257332m²