Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68168 / 69338
↖ ↑ ↗
← S 10.385168°
E  7.229004°		 ← 300.42 m → S 10.385168°
E  7.231751°		 →
↑
300.39 m
↓
↑
300.39 m
↓
S 10.387870°
E  7.229004°		 ← 300.42 m →
90 244 m²		 S 10.387870°
E  7.231751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520084381103516 y=0.529010772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520084381103516 × 217)
    floor (0.520084381103516 × 131072)
    floor (68168.5)     		tx = 68168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529010772705078 × 217)
    floor (0.529010772705078 × 131072)
    floor (69338.5)     		ty = 69338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68168 / 69338 ti = "17/68168/69338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68168/69338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68168 ÷ 217
    68168 ÷ 131072     		x = 0.52008056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69338 ÷ 217
    69338 ÷ 131072     		y = 0.529006958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52008056640625 × 2 - 1) × π
    0.0401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12616992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529006958007812 × 2 - 1) × π
    -0.058013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.182256092355453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12616992} λ = 0.12616992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182256092355453))-π/2
    2×atan(0.833387888817787)-π/2
    2×0.69477047201221-π/2
    1.38954094402442-1.57079632675     		φ = -0.18125538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12616992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.229004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18125538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.385168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68168 KachelY 69338 0.12616992 -0.18125538 7.229004 -10.385168
    Oben rechts KachelX + 1 68169 KachelY 69338 0.12621786 -0.18125538 7.231751 -10.385168
    Unten links KachelX 68168 KachelY + 1 69339 0.12616992 -0.18130253 7.229004 -10.387870
    Unten rechts KachelX + 1 68169 KachelY + 1 69339 0.12621786 -0.18130253 7.231751 -10.387870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18125538--0.18130253) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dl = 300.392649999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18125538--0.18130253) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dr = 300.392649999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12616992-0.12621786) × cos(-0.18125538) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983618167442897 × 6371000     		do = 300.422306668668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12616992-0.12621786) × cos(-0.18130253) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983609666876972 × 6371000     		du = 300.41971037703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18125538)-sin(-0.18130253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983618167442897-0.983609666876972)×R²
    abs(0.12621786-0.12616992)×8.50056592516246e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.50056592516246e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.50056592516246e-06×40589641000000     		ar = 90244.2628825952m²