Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68165 / 69169
↖ ↑ ↗
← S  9.928271°
E  7.220764°		 ← 300.85 m → S  9.928271°
E  7.223511°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.930977°
E  7.220764°		 ← 300.85 m →
90 507 m²		 S  9.930977°
E  7.223511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520061492919922 y=0.527721405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520061492919922 × 217)
    floor (0.520061492919922 × 131072)
    floor (68165.5)     		tx = 68165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527721405029297 × 217)
    floor (0.527721405029297 × 131072)
    floor (69169.5)     		ty = 69169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68165 / 69169 ti = "17/68165/69169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68165/69169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68165 ÷ 217
    68165 ÷ 131072     		x = 0.520057678222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69169 ÷ 217
    69169 ÷ 131072     		y = 0.527717590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520057678222656 × 2 - 1) × π
    0.0401153564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12602611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527717590332031 × 2 - 1) × π
    -0.0554351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.174154756319664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12602611} λ = 0.12602611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174154756319664))-π/2
    2×atan(0.840166866464959)-π/2
    2×0.698757651147535-π/2
    1.39751530229507-1.57079632675     		φ = -0.17328102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12602611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.220764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17328102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.928271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68165 KachelY 69169 0.12602611 -0.17328102 7.220764 -9.928271
    Oben rechts KachelX + 1 68166 KachelY 69169 0.12607405 -0.17328102 7.223511 -9.928271
    Unten links KachelX 68165 KachelY + 1 69170 0.12602611 -0.17332824 7.220764 -9.930977
    Unten rechts KachelX + 1 68166 KachelY + 1 69170 0.12607405 -0.17332824 7.223511 -9.930977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17328102--0.17332824) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dl = 300.838619999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17328102--0.17332824) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dr = 300.838619999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12602611-0.12607405) × cos(-0.17328102) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985024372283854 × 6371000     		do = 300.851797822808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12602611-0.12607405) × cos(-0.17332824) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985016229742024 × 6371000     		du = 300.849310880945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17328102)-sin(-0.17332824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985024372283854-0.985016229742024)×R²
    abs(0.12607405-0.12602611)×8.14254183012508e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.14254183012508e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.14254183012508e-06×40589641000000     		ar = 90507.4656142458m²