Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68162 / 69441
↖ ↑ ↗
← S 10.663307°
E  7.212525°		 ← 300.15 m → S 10.663307°
E  7.215271°		 →
↑
300.14 m
↓
↑
300.14 m
↓
S 10.666006°
E  7.212525°		 ← 300.15 m →
90 086 m²		 S 10.666006°
E  7.215271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520038604736328 y=0.529796600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520038604736328 × 217)
    floor (0.520038604736328 × 131072)
    floor (68162.5)     		tx = 68162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529796600341797 × 217)
    floor (0.529796600341797 × 131072)
    floor (69441.5)     		ty = 69441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68162 / 69441 ti = "17/68162/69441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68162/69441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68162 ÷ 217
    68162 ÷ 131072     		x = 0.520034790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69441 ÷ 217
    69441 ÷ 131072     		y = 0.529792785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520034790039062 × 2 - 1) × π
    0.040069580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12588230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529792785644531 × 2 - 1) × π
    -0.0595855712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.187193593016319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12588230} λ = 0.12588230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.187193593016319))-π/2
    2×atan(0.829283177412659)-π/2
    2×0.692343254217507-π/2
    1.38468650843501-1.57079632675     		φ = -0.18610982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12588230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.212525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18610982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.663307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68162 KachelY 69441 0.12588230 -0.18610982 7.212525 -10.663307
    Oben rechts KachelX + 1 68163 KachelY 69441 0.12593024 -0.18610982 7.215271 -10.663307
    Unten links KachelX 68162 KachelY + 1 69442 0.12588230 -0.18615693 7.212525 -10.666006
    Unten rechts KachelX + 1 68163 KachelY + 1 69442 0.12593024 -0.18615693 7.215271 -10.666006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18610982--0.18615693) × R
    4.71099999999891e-05 × 6371000     		dl = 300.137809999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18610982--0.18615693) × R
    4.71099999999891e-05 × 6371000     		dr = 300.137809999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12588230-0.12593024) × cos(-0.18610982) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982731497788859 × 6371000     		do = 300.151494933448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12588230-0.12593024) × cos(-0.18615693) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982722779591036 × 6371000     		du = 300.148832171426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18610982)-sin(-0.18615693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982731497788859-0.982722779591036)×R²
    abs(0.12593024-0.12588230)×8.71819782322092e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.71819782322092e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.71819782322092e-06×40589641000000     		ar = 90086.4127763917m²