Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68161 / 69442
↖ ↑ ↗
← S 10.666006°
E  7.209778°		 ← 300.15 m → S 10.666006°
E  7.212525°		 →
↑
300.14 m
↓
↑
300.14 m
↓
S 10.668706°
E  7.209778°		 ← 300.15 m →
90 086 m²		 S 10.668706°
E  7.212525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520030975341797 y=0.529804229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520030975341797 × 217)
    floor (0.520030975341797 × 131072)
    floor (68161.5)     		tx = 68161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529804229736328 × 217)
    floor (0.529804229736328 × 131072)
    floor (69442.5)     		ty = 69442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68161 / 69442 ti = "17/68161/69442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68161/69442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68161 ÷ 217
    68161 ÷ 131072     		x = 0.520027160644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69442 ÷ 217
    69442 ÷ 131072     		y = 0.529800415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520027160644531 × 2 - 1) × π
    0.0400543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12583436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529800415039062 × 2 - 1) × π
    -0.059600830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.187241529915939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12583436} λ = 0.12583436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.187241529915939))-π/2
    2×atan(0.829243425101036)-π/2
    2×0.692319699771392-π/2
    1.38463939954278-1.57079632675     		φ = -0.18615693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12583436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.209778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18615693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.666006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68161 KachelY 69442 0.12583436 -0.18615693 7.209778 -10.666006
    Oben rechts KachelX + 1 68162 KachelY 69442 0.12588230 -0.18615693 7.212525 -10.666006
    Unten links KachelX 68161 KachelY + 1 69443 0.12583436 -0.18620404 7.209778 -10.668706
    Unten rechts KachelX + 1 68162 KachelY + 1 69443 0.12588230 -0.18620404 7.212525 -10.668706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18615693--0.18620404) × R
    4.71099999999891e-05 × 6371000     		dl = 300.137809999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18615693--0.18620404) × R
    4.71099999999891e-05 × 6371000     		dr = 300.137809999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12583436-0.12588230) × cos(-0.18615693) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982722779591036 × 6371000     		do = 300.148832171426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12583436-0.12588230) × cos(-0.18620404) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982714059212205 × 6371000     		du = 300.146168743269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18615693)-sin(-0.18620404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982722779591036-0.982714059212205)×R²
    abs(0.12588230-0.12583436)×8.72037883092869e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.72037883092869e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.72037883092869e-06×40589641000000     		ar = 90085.6134809208m²