Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68160 / 72384
↖ ↑ ↗
← S 18.479609°
E  7.207031°		 ← 289.68 m → S 18.479609°
E  7.209778°		 →
↑
289.69 m
↓
↑
289.69 m
↓
S 18.482214°
E  7.207031°		 ← 289.67 m →
83 916 m²		 S 18.482214°
E  7.209778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520023345947266 y=0.552249908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520023345947266 × 217)
    floor (0.520023345947266 × 131072)
    floor (68160.5)     		tx = 68160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552249908447266 × 217)
    floor (0.552249908447266 × 131072)
    floor (72384.5)     		ty = 72384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68160 / 72384 ti = "17/68160/72384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68160/72384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68160 ÷ 217
    68160 ÷ 131072     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72384 ÷ 217
    72384 ÷ 131072     		y = 0.55224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55224609375 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.328271888598145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328271888598145))-π/2
    2×atan(0.720167187837151)-π/2
    2×0.624133152149083-π/2
    1.24826630429817-1.57079632675     		φ = -0.32253002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32253002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.479609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68160 KachelY 72384 0.12578642 -0.32253002 7.207031 -18.479609
    Oben rechts KachelX + 1 68161 KachelY 72384 0.12583436 -0.32253002 7.209778 -18.479609
    Unten links KachelX 68160 KachelY + 1 72385 0.12578642 -0.32257549 7.207031 -18.482214
    Unten rechts KachelX + 1 68161 KachelY + 1 72385 0.12583436 -0.32257549 7.209778 -18.482214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32253002--0.32257549) × R
    4.54700000000474e-05 × 6371000     		dl = 289.689370000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32253002--0.32257549) × R
    4.54700000000474e-05 × 6371000     		dr = 289.689370000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12583436) × cos(-0.32253002) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948436521214896 × 6371000     		do = 289.676926335063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12583436) × cos(-0.32257549) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948422107738776 × 6371000     		du = 289.672524088453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32253002)-sin(-0.32257549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948436521214896-0.948422107738776)×R²
    abs(0.12583436-0.12578642)×1.44134761195236e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44134761195236e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44134761195236e-05×40589641000000     		ar = 83915.6886660583m²