Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68160 / 69313
↖ ↑ ↗
← S 10.317622°
E  7.207031°		 ← 300.49 m → S 10.317622°
E  7.209778°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.320324°
E  7.207031°		 ← 300.48 m →
90 283 m²		 S 10.320324°
E  7.209778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520023345947266 y=0.528820037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520023345947266 × 217)
    floor (0.520023345947266 × 131072)
    floor (68160.5)     		tx = 68160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528820037841797 × 217)
    floor (0.528820037841797 × 131072)
    floor (69313.5)     		ty = 69313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68160 / 69313 ti = "17/68160/69313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68160/69313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68160 ÷ 217
    68160 ÷ 131072     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69313 ÷ 217
    69313 ÷ 131072     		y = 0.528816223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528816223144531 × 2 - 1) × π
    -0.0576324462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.181057669864952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181057669864952))-π/2
    2×atan(0.834387238308904)-π/2
    2×0.695359930611337-π/2
    1.39071986122267-1.57079632675     		φ = -0.18007647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18007647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.317622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68160 KachelY 69313 0.12578642 -0.18007647 7.207031 -10.317622
    Oben rechts KachelX + 1 68161 KachelY 69313 0.12583436 -0.18007647 7.209778 -10.317622
    Unten links KachelX 68160 KachelY + 1 69314 0.12578642 -0.18012363 7.207031 -10.320324
    Unten rechts KachelX + 1 68161 KachelY + 1 69314 0.12583436 -0.18012363 7.209778 -10.320324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18007647--0.18012363) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dl = 300.456360000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18007647--0.18012363) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dr = 300.456360000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12583436) × cos(-0.18007647) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983829999520063 × 6371000     		do = 300.487005637592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12583436) × cos(-0.18012363) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983821551843296 × 6371000     		du = 300.484425499664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18007647)-sin(-0.18012363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983829999520063-0.983821551843296)×R²
    abs(0.12583436-0.12578642)×8.44767676655422e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.44767676655422e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.44767676655422e-06×40589641000000     		ar = 90282.8443485058m²