Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68160 / 69311
↖ ↑ ↗
← S 10.312217°
E  7.207031°		 ← 300.49 m → S 10.312217°
E  7.209778°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.314919°
E  7.207031°		 ← 300.49 m →
90 284 m²		 S 10.314919°
E  7.209778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520023345947266 y=0.528804779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520023345947266 × 217)
    floor (0.520023345947266 × 131072)
    floor (68160.5)     		tx = 68160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528804779052734 × 217)
    floor (0.528804779052734 × 131072)
    floor (69311.5)     		ty = 69311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68160 / 69311 ti = "17/68160/69311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68160/69311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68160 ÷ 217
    68160 ÷ 131072     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69311 ÷ 217
    69311 ÷ 131072     		y = 0.528800964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528800964355469 × 2 - 1) × π
    -0.0576019287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.180961796065712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180961796065712))-π/2
    2×atan(0.834467238018355)-π/2
    2×0.695407092776156-π/2
    1.39081418555231-1.57079632675     		φ = -0.17998214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17998214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.312217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68160 KachelY 69311 0.12578642 -0.17998214 7.207031 -10.312217
    Oben rechts KachelX + 1 68161 KachelY 69311 0.12583436 -0.17998214 7.209778 -10.312217
    Unten links KachelX 68160 KachelY + 1 69312 0.12578642 -0.18002930 7.207031 -10.314919
    Unten rechts KachelX + 1 68161 KachelY + 1 69312 0.12583436 -0.18002930 7.209778 -10.314919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17998214--0.18002930) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dl = 300.45635999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17998214--0.18002930) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dr = 300.45635999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12583436) × cos(-0.17998214) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98384689009939 × 6371000     		do = 300.492164455282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12583436) × cos(-0.18002930) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983838446799311 × 6371000     		du = 300.489585654107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17998214)-sin(-0.18002930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98384689009939-0.983838446799311)×R²
    abs(0.12583436-0.12578642)×8.44330007887528e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.44330007887528e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.44330007887528e-06×40589641000000     		ar = 90284.3945488678m²