Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6816 / 1889
↖ ↑ ↗
← N 79.808415°
W 30.234375°		 ← 432.30 m → N 79.808415°
W 30.212403°		 →
↑
432.40 m
↓
↑
432.40 m
↓
N 79.804527°
W 30.234375°		 ← 432.47 m →
186 963 m²		 N 79.804527°
W 30.212403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416046142578125 y=0.115325927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416046142578125 × 214)
    floor (0.416046142578125 × 16384)
    floor (6816.5)     		tx = 6816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115325927734375 × 214)
    floor (0.115325927734375 × 16384)
    floor (1889.5)     		ty = 1889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6816 / 1889 ti = "14/6816/1889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6816/1889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6816 ÷ 214
    6816 ÷ 16384     		x = 0.416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1889 ÷ 214
    1889 ÷ 16384     		y = 0.11529541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11529541015625 × 2 - 1) × π
    0.7694091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41717022644171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52768939} λ = -0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41717022644171))-π/2
    2×atan(11.2140810633859)-π/2
    2×1.48185797100297-π/2
    2.96371594200594-1.57079632675     		φ = 1.39291962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39291962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.808415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6816 KachelY 1889 -0.52768939 1.39291962 -30.234375 79.808415
    Oben rechts KachelX + 1 6817 KachelY 1889 -0.52730590 1.39291962 -30.212403 79.808415
    Unten links KachelX 6816 KachelY + 1 1890 -0.52768939 1.39285175 -30.234375 79.804527
    Unten rechts KachelX + 1 6817 KachelY + 1 1890 -0.52730590 1.39285175 -30.212403 79.804527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39291962-1.39285175) × R
    6.78700000000809e-05 × 6371000     		dl = 432.399770000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39291962-1.39285175) × R
    6.78700000000809e-05 × 6371000     		dr = 432.399770000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52768939--0.52730590) × cos(1.39291962) × R
    0.000383490000000042 × 0.176940182801711 × 6371000     		do = 432.302871566492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52768939--0.52730590) × cos(1.39285175) × R
    0.000383490000000042 × 0.177006981514605 × 6371000     		du = 432.466075169787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39291962)-sin(1.39285175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176940182801711-0.177006981514605)×R²
    abs(-0.52730590--0.52768939)×6.67987128936676e-05×R²
    0.000383490000000042×6.67987128936676e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.67987128936676e-05×40589641000000     		ar = 186962.94690894m²