Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68159 / 68825
↖ ↑ ↗
← S  8.996313°
E  7.204285°		 ← 301.61 m → S  8.996313°
E  7.207031°		 →
↑
301.60 m
↓
↑
301.60 m
↓
S  8.999026°
E  7.204285°		 ← 301.60 m →
90 965 m²		 S  8.999026°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520015716552734 y=0.525096893310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520015716552734 × 217)
    floor (0.520015716552734 × 131072)
    floor (68159.5)     		tx = 68159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525096893310547 × 217)
    floor (0.525096893310547 × 131072)
    floor (68825.5)     		ty = 68825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68159 / 68825 ti = "17/68159/68825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68159/68825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68159 ÷ 217
    68159 ÷ 131072     		x = 0.520011901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68825 ÷ 217
    68825 ÷ 131072     		y = 0.525093078613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520011901855469 × 2 - 1) × π
    0.0400238037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12573849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525093078613281 × 2 - 1) × π
    -0.0501861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.157664462850365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12573849} λ = 0.12573849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157664462850365))-π/2
    2×atan(0.854136328361332)-π/2
    2×0.706890519856032-π/2
    1.41378103971206-1.57079632675     		φ = -0.15701529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12573849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.204285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15701529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.996313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68159 KachelY 68825 0.12573849 -0.15701529 7.204285 -8.996313
    Oben rechts KachelX + 1 68160 KachelY 68825 0.12578642 -0.15701529 7.207031 -8.996313
    Unten links KachelX 68159 KachelY + 1 68826 0.12573849 -0.15706263 7.204285 -8.999026
    Unten rechts KachelX + 1 68160 KachelY + 1 68826 0.12578642 -0.15706263 7.207031 -8.999026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15701529--0.15706263) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dl = 301.603140000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15701529--0.15706263) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dr = 301.603140000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12573849-0.12578642) × cos(-0.15701529) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987698403963271 × 6371000     		do = 301.605589661994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12573849-0.12578642) × cos(-0.15706263) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987691000257442 × 6371000     		du = 301.603328851353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15701529)-sin(-0.15706263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987698403963271-0.987691000257442)×R²
    abs(0.12578642-0.12573849)×7.40370582896777e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.40370582896777e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.40370582896777e-06×40589641000000     		ar = 90964.8519668154m²