Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68158 / 68792
↖ ↑ ↗
← S  8.906780°
E  7.201538°		 ← 301.74 m → S  8.906780°
E  7.204285°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.909494°
E  7.201538°		 ← 301.74 m →
91 045 m²		 S  8.909494°
E  7.204285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520008087158203 y=0.524845123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520008087158203 × 217)
    floor (0.520008087158203 × 131072)
    floor (68158.5)     		tx = 68158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524845123291016 × 217)
    floor (0.524845123291016 × 131072)
    floor (68792.5)     		ty = 68792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68158 / 68792 ti = "17/68158/68792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68158/68792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68158 ÷ 217
    68158 ÷ 131072     		x = 0.520004272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68792 ÷ 217
    68792 ÷ 131072     		y = 0.52484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520004272460938 × 2 - 1) × π
    0.040008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12569055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.0496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.156082545162903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12569055} λ = 0.12569055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156082545162903))-π/2
    2×atan(0.85548857101296)-π/2
    2×0.707671844958635-π/2
    1.41534368991727-1.57079632675     		φ = -0.15545264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12569055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.201538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15545264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.906780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68158 KachelY 68792 0.12569055 -0.15545264 7.201538 -8.906780
    Oben rechts KachelX + 1 68159 KachelY 68792 0.12573849 -0.15545264 7.204285 -8.906780
    Unten links KachelX 68158 KachelY + 1 68793 0.12569055 -0.15550000 7.201538 -8.909494
    Unten rechts KachelX + 1 68159 KachelY + 1 68793 0.12573849 -0.15550000 7.204285 -8.909494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15545264--0.15550000) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15545264--0.15550000) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12569055-0.12573849) × cos(-0.15545264) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987941550955116 × 6371000     		do = 301.742779277191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12569055-0.12573849) × cos(-0.15550000) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987934217226372 × 6371000     		du = 301.740539367662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15545264)-sin(-0.15550000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987941550955116-0.987934217226372)×R²
    abs(0.12573849-0.12569055)×7.33372874461846e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.33372874461846e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.33372874461846e-06×40589641000000     		ar = 91044.67985968m²