Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68157 / 68250
↖ ↑ ↗
← S  7.433283°
E  7.198791°		 ← 302.86 m → S  7.433283°
E  7.201538°		 →
↑
302.88 m
↓
↑
302.88 m
↓
S  7.436007°
E  7.198791°		 ← 302.86 m →
91 729 m²		 S  7.436007°
E  7.201538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520000457763672 y=0.520709991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520000457763672 × 217)
    floor (0.520000457763672 × 131072)
    floor (68157.5)     		tx = 68157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520709991455078 × 217)
    floor (0.520709991455078 × 131072)
    floor (68250.5)     		ty = 68250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68157 / 68250 ti = "17/68157/68250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68157/68250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68157 ÷ 217
    68157 ÷ 131072     		x = 0.519996643066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68250 ÷ 217
    68250 ÷ 131072     		y = 0.520706176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519996643066406 × 2 - 1) × π
    0.0399932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12564261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.520706176757812 × 2 - 1) × π
    -0.041412353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.130100745568832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12564261} λ = 0.12564261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.130100745568832))-π/2
    2×atan(0.878006971152924)-π/2
    2×0.720530527194989-π/2
    1.44106105438998-1.57079632675     		φ = -0.12973527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12564261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.198791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12973527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.433283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68157 KachelY 68250 0.12564261 -0.12973527 7.198791 -7.433283
    Oben rechts KachelX + 1 68158 KachelY 68250 0.12569055 -0.12973527 7.201538 -7.433283
    Unten links KachelX 68157 KachelY + 1 68251 0.12564261 -0.12978281 7.198791 -7.436007
    Unten rechts KachelX + 1 68158 KachelY + 1 68251 0.12569055 -0.12978281 7.201538 -7.436007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12973527--0.12978281) × R
    4.75399999999848e-05 × 6371000     		dl = 302.877339999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12973527--0.12978281) × R
    4.75399999999848e-05 × 6371000     		dr = 302.877339999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12564261-0.12569055) × cos(-0.12973527) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991596177015656 × 6371000     		do = 302.85899614633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12564261-0.12569055) × cos(-0.12978281) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.991590025567273 × 6371000     		du = 302.857117335656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12973527)-sin(-0.12978281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991596177015656-0.991590025567273)×R²
    abs(0.12569055-0.12564261)×6.15144838289616e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.15144838289616e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.15144838289616e-06×40589641000000     		ar = 91728.8426405073m²