Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68152 / 68614
↖ ↑ ↗
← S  8.423470°
E  7.185059°		 ← 302.13 m → S  8.423470°
E  7.187805°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.426187°
E  7.185059°		 ← 302.13 m →
91 277 m²		 S  8.426187°
E  7.187805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519962310791016 y=0.523487091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519962310791016 × 217)
    floor (0.519962310791016 × 131072)
    floor (68152.5)     		tx = 68152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523487091064453 × 217)
    floor (0.523487091064453 × 131072)
    floor (68614.5)     		ty = 68614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68152 / 68614 ti = "17/68152/68614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68152/68614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68152 ÷ 217
    68152 ÷ 131072     		x = 0.51995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68614 ÷ 217
    68614 ÷ 131072     		y = 0.523483276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51995849609375 × 2 - 1) × π
    0.0399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12540293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523483276367188 × 2 - 1) × π
    -0.046966552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.147549777030533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12540293} λ = 0.12540293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147549777030533))-π/2
    2×atan(0.8628194886604)-π/2
    2×0.711889518464705-π/2
    1.42377903692941-1.57079632675     		φ = -0.14701729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12540293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14701729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.423470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68152 KachelY 68614 0.12540293 -0.14701729 7.185059 -8.423470
    Oben rechts KachelX + 1 68153 KachelY 68614 0.12545087 -0.14701729 7.187805 -8.423470
    Unten links KachelX 68152 KachelY + 1 68615 0.12540293 -0.14706471 7.185059 -8.426187
    Unten rechts KachelX + 1 68153 KachelY + 1 68615 0.12545087 -0.14706471 7.187805 -8.426187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14701729--0.14706471) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14701729--0.14706471) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12540293-0.12545087) × cos(-0.14701729) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989212409560414 × 6371000     		do = 302.130932207149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12540293-0.12545087) × cos(-0.14706471) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989205461975178 × 6371000     		du = 302.128810235787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14701729)-sin(-0.14706471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989212409560414-0.989205461975178)×R²
    abs(0.12545087-0.12540293)×6.94758523578365e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.94758523578365e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.94758523578365e-06×40589641000000     		ar = 91277.3074180556m²