Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68150 / 69310
↖ ↑ ↗
← S 10.309515°
E  7.179566°		 ← 300.43 m → S 10.309515°
E  7.182312°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.312217°
E  7.179566°		 ← 300.43 m →
90 266 m²		 S 10.312217°
E  7.182312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519947052001953 y=0.528797149658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519947052001953 × 217)
    floor (0.519947052001953 × 131072)
    floor (68150.5)     		tx = 68150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528797149658203 × 217)
    floor (0.528797149658203 × 131072)
    floor (69310.5)     		ty = 69310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68150 / 69310 ti = "17/68150/69310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68150/69310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68150 ÷ 217
    68150 ÷ 131072     		x = 0.519943237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69310 ÷ 217
    69310 ÷ 131072     		y = 0.528793334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519943237304688 × 2 - 1) × π
    0.039886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12530706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528793334960938 × 2 - 1) × π
    -0.057586669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.180913859166092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12530706} λ = 0.12530706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180913859166092))-π/2
    2×atan(0.834507240749376)-π/2
    2×0.695430674162127-π/2
    1.39086134832425-1.57079632675     		φ = -0.17993498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12530706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.179566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17993498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.309515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68150 KachelY 69310 0.12530706 -0.17993498 7.179566 -10.309515
    Oben rechts KachelX + 1 68151 KachelY 69310 0.12535499 -0.17993498 7.182312 -10.309515
    Unten links KachelX 68150 KachelY + 1 69311 0.12530706 -0.17998214 7.179566 -10.312217
    Unten rechts KachelX + 1 68151 KachelY + 1 69311 0.12535499 -0.17998214 7.182312 -10.312217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17993498--0.17998214) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dl = 300.456360000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17993498--0.17998214) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dr = 300.456360000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12530706-0.12535499) × cos(-0.17993498) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983855331211328 × 6371000     		do = 300.432061165024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12530706-0.12535499) × cos(-0.17998214) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98384689009939 × 6371000     		du = 300.429483569946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17993498)-sin(-0.17998214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983855331211328-0.98384689009939)×R²
    abs(0.12535499-0.12530706)×8.44111193876174e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.44111193876174e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.44111193876174e-06×40589641000000     		ar = 90266.3363142523m²