Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68149 / 68264
↖ ↑ ↗
← S  7.471411°
E  7.176819°		 ← 302.83 m → S  7.471411°
E  7.179566°		 →
↑
302.81 m
↓
↑
302.81 m
↓
S  7.474134°
E  7.176819°		 ← 302.83 m →
91 702 m²		 S  7.474134°
E  7.179566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519939422607422 y=0.520816802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519939422607422 × 217)
    floor (0.519939422607422 × 131072)
    floor (68149.5)     		tx = 68149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520816802978516 × 217)
    floor (0.520816802978516 × 131072)
    floor (68264.5)     		ty = 68264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68149 / 68264 ti = "17/68149/68264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68149/68264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68149 ÷ 217
    68149 ÷ 131072     		x = 0.519935607910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68264 ÷ 217
    68264 ÷ 131072     		y = 0.52081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519935607910156 × 2 - 1) × π
    0.0398712158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12525912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52081298828125 × 2 - 1) × π
    -0.0416259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.130771862163513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12525912} λ = 0.12525912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.130771862163513))-π/2
    2×atan(0.877417923786178)-π/2
    2×0.720197803339169-π/2
    1.44039560667834-1.57079632675     		φ = -0.13040072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12525912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.176819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13040072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.471411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68149 KachelY 68264 0.12525912 -0.13040072 7.176819 -7.471411
    Oben rechts KachelX + 1 68150 KachelY 68264 0.12530706 -0.13040072 7.179566 -7.471411
    Unten links KachelX 68149 KachelY + 1 68265 0.12525912 -0.13044825 7.176819 -7.474134
    Unten rechts KachelX + 1 68150 KachelY + 1 68265 0.12530706 -0.13044825 7.179566 -7.474134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13040072--0.13044825) × R
    4.75299999999901e-05 × 6371000     		dl = 302.813629999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13040072--0.13044825) × R
    4.75299999999901e-05 × 6371000     		dr = 302.813629999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12525912-0.12530706) × cos(-0.13040072) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99150986711177 × 6371000     		do = 302.832634879891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12525912-0.12530706) × cos(-0.13044825) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991503685596001 × 6371000     		du = 302.830746885863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13040072)-sin(-0.13044825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99150986711177-0.991503685596001)×R²
    abs(0.12530706-0.12525912)×6.18151576914361e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.18151576914361e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.18151576914361e-06×40589641000000     		ar = 91701.5636124963m²