Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68147 / 68269
↖ ↑ ↗
← S  7.485027°
E  7.171325°		 ← 302.82 m → S  7.485027°
E  7.174072°		 →
↑
302.75 m
↓
↑
302.75 m
↓
S  7.487750°
E  7.171325°		 ← 302.82 m →
91 679 m²		 S  7.487750°
E  7.174072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519924163818359 y=0.520854949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519924163818359 × 217)
    floor (0.519924163818359 × 131072)
    floor (68147.5)     		tx = 68147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520854949951172 × 217)
    floor (0.520854949951172 × 131072)
    floor (68269.5)     		ty = 68269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68147 / 68269 ti = "17/68147/68269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68147/68269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68147 ÷ 217
    68147 ÷ 131072     		x = 0.519920349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68269 ÷ 217
    68269 ÷ 131072     		y = 0.520851135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519920349121094 × 2 - 1) × π
    0.0398406982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12516324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.520851135253906 × 2 - 1) × π
    -0.0417022705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.131011546661613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12516324} λ = 0.12516324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.131011546661613))-π/2
    2×atan(0.877207645512719)-π/2
    2×0.720078980419518-π/2
    1.44015796083904-1.57079632675     		φ = -0.13063837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12516324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.171325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13063837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.485027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68147 KachelY 68269 0.12516324 -0.13063837 7.171325 -7.485027
    Oben rechts KachelX + 1 68148 KachelY 68269 0.12521118 -0.13063837 7.174072 -7.485027
    Unten links KachelX 68147 KachelY + 1 68270 0.12516324 -0.13068589 7.171325 -7.487750
    Unten rechts KachelX + 1 68148 KachelY + 1 68270 0.12521118 -0.13068589 7.174072 -7.487750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13063837--0.13068589) × R
    4.75199999999953e-05 × 6371000     		dl = 302.74991999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13063837--0.13068589) × R
    4.75199999999953e-05 × 6371000     		dr = 302.74991999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12516324-0.12521118) × cos(-0.13063837) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991478937133996 × 6371000     		do = 302.823188068541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12516324-0.12521118) × cos(-0.13068589) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991472745721974 × 6371000     		du = 302.821297051943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13063837)-sin(-0.13068589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991478937133996-0.991472745721974)×R²
    abs(0.12521118-0.12516324)×6.19141202151674e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.19141202151674e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.19141202151674e-06×40589641000000     		ar = 91679.4097265879m²