Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68147 / 68263
↖ ↑ ↗
← S  7.468688°
E  7.171325°		 ← 302.83 m → S  7.468688°
E  7.174072°		 →
↑
302.81 m
↓
↑
302.81 m
↓
S  7.471411°
E  7.171325°		 ← 302.83 m →
91 702 m²		 S  7.471411°
E  7.174072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519924163818359 y=0.520809173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519924163818359 × 217)
    floor (0.519924163818359 × 131072)
    floor (68147.5)     		tx = 68147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520809173583984 × 217)
    floor (0.520809173583984 × 131072)
    floor (68263.5)     		ty = 68263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68147 / 68263 ti = "17/68147/68263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68147/68263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68147 ÷ 217
    68147 ÷ 131072     		x = 0.519920349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68263 ÷ 217
    68263 ÷ 131072     		y = 0.520805358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519920349121094 × 2 - 1) × π
    0.0398406982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12516324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.520805358886719 × 2 - 1) × π
    -0.0416107177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.130723925263893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12516324} λ = 0.12516324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.130723925263893))-π/2
    2×atan(0.877459985489261)-π/2
    2×0.720221568367713-π/2
    1.44044313673543-1.57079632675     		φ = -0.13035319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12516324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.171325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13035319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.468688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68147 KachelY 68263 0.12516324 -0.13035319 7.171325 -7.468688
    Oben rechts KachelX + 1 68148 KachelY 68263 0.12521118 -0.13035319 7.174072 -7.468688
    Unten links KachelX 68147 KachelY + 1 68264 0.12516324 -0.13040072 7.171325 -7.471411
    Unten rechts KachelX + 1 68148 KachelY + 1 68264 0.12521118 -0.13040072 7.174072 -7.471411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13035319--0.13040072) × R
    4.75299999999901e-05 × 6371000     		dl = 302.813629999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13035319--0.13040072) × R
    4.75299999999901e-05 × 6371000     		dr = 302.813629999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12516324-0.12521118) × cos(-0.13035319) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991516046387619 × 6371000     		do = 302.83452218979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12516324-0.12521118) × cos(-0.13040072) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99150986711177 × 6371000     		du = 302.832634879891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13035319)-sin(-0.13040072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991516046387619-0.99150986711177)×R²
    abs(0.12521118-0.12516324)×6.17927584833922e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.17927584833922e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.17927584833922e-06×40589641000000     		ar = 91702.1352192986m²