Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68146 / 68256
↖ ↑ ↗
← S  7.449624°
E  7.168579°		 ← 302.78 m → S  7.449624°
E  7.171325°		 →
↑
302.81 m
↓
↑
302.81 m
↓
S  7.452347°
E  7.168579°		 ← 302.78 m →
91 687 m²		 S  7.452347°
E  7.171325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519916534423828 y=0.520755767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519916534423828 × 217)
    floor (0.519916534423828 × 131072)
    floor (68146.5)     		tx = 68146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520755767822266 × 217)
    floor (0.520755767822266 × 131072)
    floor (68256.5)     		ty = 68256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68146 / 68256 ti = "17/68146/68256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68146/68256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68146 ÷ 217
    68146 ÷ 131072     		x = 0.519912719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68256 ÷ 217
    68256 ÷ 131072     		y = 0.520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519912719726562 × 2 - 1) × π
    0.039825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12511531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.04150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.130388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12511531} λ = 0.12511531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.130388366966553))-π/2
    2×atan(0.877754473874223)-π/2
    2×0.720387927710847-π/2
    1.44077585542169-1.57079632675     		φ = -0.13002047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12511531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.168579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13002047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.449624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68146 KachelY 68256 0.12511531 -0.13002047 7.168579 -7.449624
    Oben rechts KachelX + 1 68147 KachelY 68256 0.12516324 -0.13002047 7.171325 -7.449624
    Unten links KachelX 68146 KachelY + 1 68257 0.12511531 -0.13006800 7.168579 -7.452347
    Unten rechts KachelX + 1 68147 KachelY + 1 68257 0.12516324 -0.13006800 7.171325 -7.452347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13002047--0.13006800) × R
    4.75299999999901e-05 × 6371000     		dl = 302.813629999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13002047--0.13006800) × R
    4.75299999999901e-05 × 6371000     		dr = 302.813629999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12511531-0.12516324) × cos(-0.13002047) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.991559239896146 × 6371000     		do = 302.784542359954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12511531-0.12516324) × cos(-0.13006800) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.991553076300606 × 6371000     		du = 302.782660231908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13002047)-sin(-0.13006800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991559239896146-0.991553076300606)×R²
    abs(0.12516324-0.12511531)×6.16359554062029e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.16359554062029e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.16359554062029e-06×40589641000000     		ar = 91687.0014301445m²