Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68141 / 68727
↖ ↑ ↗
← S  8.730362°
E  7.154846°		 ← 301.89 m → S  8.730362°
E  7.157593°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.733077°
E  7.154846°		 ← 301.88 m →
91 127 m²		 S  8.733077°
E  7.157593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519878387451172 y=0.524349212646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519878387451172 × 217)
    floor (0.519878387451172 × 131072)
    floor (68141.5)     		tx = 68141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524349212646484 × 217)
    floor (0.524349212646484 × 131072)
    floor (68727.5)     		ty = 68727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68141 / 68727 ti = "17/68141/68727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68141/68727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68141 ÷ 217
    68141 ÷ 131072     		x = 0.519874572753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68727 ÷ 217
    68727 ÷ 131072     		y = 0.524345397949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519874572753906 × 2 - 1) × π
    0.0397491455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12487562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524345397949219 × 2 - 1) × π
    -0.0486907958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.152966646687599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12487562} λ = 0.12487562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.152966646687599))-π/2
    2×atan(0.858158343757402)-π/2
    2×0.709211376639092-π/2
    1.41842275327818-1.57079632675     		φ = -0.15237357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12487562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.154846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15237357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.730362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68141 KachelY 68727 0.12487562 -0.15237357 7.154846 -8.730362
    Oben rechts KachelX + 1 68142 KachelY 68727 0.12492356 -0.15237357 7.157593 -8.730362
    Unten links KachelX 68141 KachelY + 1 68728 0.12487562 -0.15242095 7.154846 -8.733077
    Unten rechts KachelX + 1 68142 KachelY + 1 68728 0.12492356 -0.15242095 7.157593 -8.733077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15237357--0.15242095) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dl = 301.857979999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15237357--0.15242095) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dr = 301.857979999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12487562-0.12492356) × cos(-0.15237357) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988413591115982 × 6371000     		do = 301.886952492633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12487562-0.12492356) × cos(-0.15242095) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988406398450945 × 6371000     		du = 301.884755667592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15237357)-sin(-0.15242095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988413591115982-0.988406398450945)×R²
    abs(0.12492356-0.12487562)×7.19266503679261e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.19266503679261e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.19266503679261e-06×40589641000000     		ar = 91126.6541202274m²