Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68140 / 68728
↖ ↑ ↗
← S  8.733077°
E  7.152100°		 ← 301.82 m → S  8.733077°
E  7.154846°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
S  8.735792°
E  7.152100°		 ← 301.82 m →
91 126 m²		 S  8.735792°
E  7.154846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519870758056641 y=0.524356842041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519870758056641 × 217)
    floor (0.519870758056641 × 131072)
    floor (68140.5)     		tx = 68140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524356842041016 × 217)
    floor (0.524356842041016 × 131072)
    floor (68728.5)     		ty = 68728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68140 / 68728 ti = "17/68140/68728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68140/68728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68140 ÷ 217
    68140 ÷ 131072     		x = 0.519866943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68728 ÷ 217
    68728 ÷ 131072     		y = 0.52435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519866943359375 × 2 - 1) × π
    0.03973388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12482769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.0487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.153014583587219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12482769} λ = 0.12482769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.153014583587219))-π/2
    2×atan(0.858117207293004)-π/2
    2×0.709187685983751-π/2
    1.4183753719675-1.57079632675     		φ = -0.15242095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12482769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.152100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15242095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.733077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68140 KachelY 68728 0.12482769 -0.15242095 7.152100 -8.733077
    Oben rechts KachelX + 1 68141 KachelY 68728 0.12487562 -0.15242095 7.154846 -8.733077
    Unten links KachelX 68140 KachelY + 1 68729 0.12482769 -0.15246834 7.152100 -8.735792
    Unten rechts KachelX + 1 68141 KachelY + 1 68729 0.12487562 -0.15246834 7.154846 -8.735792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15242095--0.15246834) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dl = 301.921690000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15242095--0.15246834) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dr = 301.921690000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12482769-0.12487562) × cos(-0.15242095) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988406398450945 × 6371000     		do = 301.821784295979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12482769-0.12487562) × cos(-0.15246834) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988399202048287 × 6371000     		du = 301.819586787855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15242095)-sin(-0.15246834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988406398450945-0.988399202048287)×R²
    abs(0.12487562-0.12482769)×7.19640265800514e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.19640265800514e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.19640265800514e-06×40589641000000     		ar = 91126.2114728061m²