Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68139 / 68259
↖ ↑ ↗
← S  7.457795°
E  7.149353°		 ← 302.84 m → S  7.457795°
E  7.152100°		 →
↑
302.81 m
↓
↑
302.81 m
↓
S  7.460518°
E  7.149353°		 ← 302.84 m →
91 704 m²		 S  7.460518°
E  7.152100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519863128662109 y=0.520778656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519863128662109 × 217)
    floor (0.519863128662109 × 131072)
    floor (68139.5)     		tx = 68139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520778656005859 × 217)
    floor (0.520778656005859 × 131072)
    floor (68259.5)     		ty = 68259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68139 / 68259 ti = "17/68139/68259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68139/68259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68139 ÷ 217
    68139 ÷ 131072     		x = 0.519859313964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68259 ÷ 217
    68259 ÷ 131072     		y = 0.520774841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519859313964844 × 2 - 1) × π
    0.0397186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12477975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.520774841308594 × 2 - 1) × π
    -0.0415496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.130532177665413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12477975} λ = 0.12477975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.130532177665413))-π/2
    2×atan(0.87762825246612)-π/2
    2×0.720316629962176-π/2
    1.44063325992435-1.57079632675     		φ = -0.13016307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12477975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.149353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13016307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.457795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68139 KachelY 68259 0.12477975 -0.13016307 7.149353 -7.457795
    Oben rechts KachelX + 1 68140 KachelY 68259 0.12482769 -0.13016307 7.152100 -7.457795
    Unten links KachelX 68139 KachelY + 1 68260 0.12477975 -0.13021060 7.149353 -7.460518
    Unten rechts KachelX + 1 68140 KachelY + 1 68260 0.12482769 -0.13021060 7.152100 -7.460518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13016307--0.13021060) × R
    4.75300000000178e-05 × 6371000     		dl = 302.813630000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13016307--0.13021060) × R
    4.75300000000178e-05 × 6371000     		dr = 302.813630000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12477975-0.12482769) × cos(-0.13016307) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.991540741091525 × 6371000     		do = 302.842064588092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12477975-0.12482769) × cos(-0.13021060) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.991534570775499 × 6371000     		du = 302.840180014754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13016307)-sin(-0.13021060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991540741091525-0.991534570775499)×R²
    abs(0.12482769-0.12477975)×6.17031602545559e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.17031602545559e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.17031602545559e-06×40589641000000     		ar = 91704.4195746537m²