Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68134 / 68900
↖ ↑ ↗
← S  9.199715°
E  7.135620°		 ← 301.43 m → S  9.199715°
E  7.138367°		 →
↑
301.48 m
↓
↑
301.48 m
↓
S  9.202426°
E  7.135620°		 ← 301.43 m →
90 875 m²		 S  9.202426°
E  7.138367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519824981689453 y=0.525669097900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519824981689453 × 217)
    floor (0.519824981689453 × 131072)
    floor (68134.5)     		tx = 68134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525669097900391 × 217)
    floor (0.525669097900391 × 131072)
    floor (68900.5)     		ty = 68900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68134 / 68900 ti = "17/68134/68900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68134/68900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68134 ÷ 217
    68134 ÷ 131072     		x = 0.519821166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68900 ÷ 217
    68900 ÷ 131072     		y = 0.525665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519821166992188 × 2 - 1) × π
    0.039642333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12454007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.05133056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.161259730321869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12454007} λ = 0.12454007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161259730321869))-π/2
    2×atan(0.851070993455046)-π/2
    2×0.705115502613315-π/2
    1.41023100522663-1.57079632675     		φ = -0.16056532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12454007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.135620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16056532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.199715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68134 KachelY 68900 0.12454007 -0.16056532 7.135620 -9.199715
    Oben rechts KachelX + 1 68135 KachelY 68900 0.12458800 -0.16056532 7.138367 -9.199715
    Unten links KachelX 68134 KachelY + 1 68901 0.12454007 -0.16061264 7.135620 -9.202426
    Unten rechts KachelX + 1 68135 KachelY + 1 68901 0.12458800 -0.16061264 7.138367 -9.202426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16056532--0.16061264) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dl = 301.475719999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16056532--0.16061264) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dr = 301.475719999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12454007-0.12458800) × cos(-0.16056532) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987137059859509 × 6371000     		do = 301.434176486941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12454007-0.12458800) × cos(-0.16061264) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987129493408731 × 6371000     		du = 301.431865980172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16056532)-sin(-0.16061264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987137059859509-0.987129493408731)×R²
    abs(0.12458800-0.12454007)×7.56645077826246e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.56645077826246e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.56645077826246e-06×40589641000000     		ar = 90874.7371251345m²