Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68133 / 69388
↖ ↑ ↗
← S 10.520218°
E  7.132874°		 ← 300.29 m → S 10.520218°
E  7.135620°		 →
↑
300.27 m
↓
↑
300.27 m
↓
S 10.522919°
E  7.132874°		 ← 300.29 m →
90 167 m²		 S 10.522919°
E  7.135620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519817352294922 y=0.529392242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519817352294922 × 217)
    floor (0.519817352294922 × 131072)
    floor (68133.5)     		tx = 68133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529392242431641 × 217)
    floor (0.529392242431641 × 131072)
    floor (69388.5)     		ty = 69388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68133 / 69388 ti = "17/68133/69388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68133/69388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68133 ÷ 217
    68133 ÷ 131072     		x = 0.519813537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69388 ÷ 217
    69388 ÷ 131072     		y = 0.529388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519813537597656 × 2 - 1) × π
    0.0396270751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12449213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.05877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.184652937336456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12449213} λ = 0.12449213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184652937336456))-π/2
    2×atan(0.831392779178644)-π/2
    2×0.693591937591256-π/2
    1.38718387518251-1.57079632675     		φ = -0.18361245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12449213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.132874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18361245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.520218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68133 KachelY 69388 0.12449213 -0.18361245 7.132874 -10.520218
    Oben rechts KachelX + 1 68134 KachelY 69388 0.12454007 -0.18361245 7.135620 -10.520218
    Unten links KachelX 68133 KachelY + 1 69389 0.12449213 -0.18365958 7.132874 -10.522919
    Unten rechts KachelX + 1 68134 KachelY + 1 69389 0.12454007 -0.18365958 7.135620 -10.522919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18361245--0.18365958) × R
    4.71299999999786e-05 × 6371000     		dl = 300.265229999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18361245--0.18365958) × R
    4.71299999999786e-05 × 6371000     		dr = 300.265229999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12449213-0.12454007) × cos(-0.18361245) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983190539339954 × 6371000     		do = 300.291698038882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12449213-0.12454007) × cos(-0.18365958) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983181933135551 × 6371000     		du = 300.289069482533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18361245)-sin(-0.18365958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983190539339954-0.983181933135551)×R²
    abs(0.12454007-0.12449213)×8.60620440301663e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.60620440301663e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.60620440301663e-06×40589641000000     		ar = 90166.7611633559m²