Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68132 / 68740
↖ ↑ ↗
← S  8.765653°
E  7.130127°		 ← 301.86 m → S  8.765653°
E  7.132874°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.768367°
E  7.130127°		 ← 301.86 m →
91 118 m²		 S  8.768367°
E  7.132874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519809722900391 y=0.524448394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519809722900391 × 217)
    floor (0.519809722900391 × 131072)
    floor (68132.5)     		tx = 68132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524448394775391 × 217)
    floor (0.524448394775391 × 131072)
    floor (68740.5)     		ty = 68740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68132 / 68740 ti = "17/68132/68740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68132/68740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68132 ÷ 217
    68132 ÷ 131072     		x = 0.519805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68740 ÷ 217
    68740 ÷ 131072     		y = 0.524444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519805908203125 × 2 - 1) × π
    0.03961181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12444419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.04888916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.15358982638266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12444419} λ = 0.12444419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15358982638266))-π/2
    2×atan(0.857623723501971)-π/2
    2×0.708903411583877-π/2
    1.41780682316775-1.57079632675     		φ = -0.15298950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12444419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.130127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15298950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.765653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68132 KachelY 68740 0.12444419 -0.15298950 7.130127 -8.765653
    Oben rechts KachelX + 1 68133 KachelY 68740 0.12449213 -0.15298950 7.132874 -8.765653
    Unten links KachelX 68132 KachelY + 1 68741 0.12444419 -0.15303688 7.130127 -8.768367
    Unten rechts KachelX + 1 68133 KachelY + 1 68741 0.12449213 -0.15303688 7.132874 -8.768367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15298950--0.15303688) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dl = 301.857979999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15298950--0.15303688) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dr = 301.857979999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12444419-0.12449213) × cos(-0.15298950) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.98831991492967 × 6371000     		do = 301.858341374196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12444419-0.12449213) × cos(-0.15303688) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988312693421465 × 6371000     		du = 301.856135739708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15298950)-sin(-0.15303688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98831991492967-0.988312693421465)×R²
    abs(0.12449213-0.12444419)×7.22150820553491e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.22150820553491e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.22150820553491e-06×40589641000000     		ar = 91118.0162961987m²