Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68131 / 68748
↖ ↑ ↗
← S  8.787368°
E  7.127380°		 ← 301.84 m → S  8.787368°
E  7.130127°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.790082°
E  7.127380°		 ← 301.84 m →
91 093 m²		 S  8.790082°
E  7.130127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519802093505859 y=0.524509429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519802093505859 × 217)
    floor (0.519802093505859 × 131072)
    floor (68131.5)     		tx = 68131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524509429931641 × 217)
    floor (0.524509429931641 × 131072)
    floor (68748.5)     		ty = 68748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68131 / 68748 ti = "17/68131/68748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68131/68748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68131 ÷ 217
    68131 ÷ 131072     		x = 0.519798278808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68748 ÷ 217
    68748 ÷ 131072     		y = 0.524505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519798278808594 × 2 - 1) × π
    0.0395965576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12439625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.04901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.15397332157962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12439625} λ = 0.12439625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15397332157962))-π/2
    2×atan(0.857294891979893)-π/2
    2×0.708713909155819-π/2
    1.41742781831164-1.57079632675     		φ = -0.15336851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12439625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.127380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15336851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.787368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68131 KachelY 68748 0.12439625 -0.15336851 7.127380 -8.787368
    Oben rechts KachelX + 1 68132 KachelY 68748 0.12444419 -0.15336851 7.130127 -8.787368
    Unten links KachelX 68131 KachelY + 1 68749 0.12439625 -0.15341588 7.127380 -8.790082
    Unten rechts KachelX + 1 68132 KachelY + 1 68749 0.12444419 -0.15341588 7.130127 -8.790082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15336851--0.15341588) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dl = 301.794269999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15336851--0.15341588) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dr = 301.794269999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12439625-0.12444419) × cos(-0.15336851) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98826208532639 × 6371000     		do = 301.840678724733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12439625-0.12444419) × cos(-0.15341588) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988254847599167 × 6371000     		du = 301.83846813654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15336851)-sin(-0.15341588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98826208532639-0.988254847599167)×R²
    abs(0.12444419-0.12439625)×7.23772722266425e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.23772722266425e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.23772722266425e-06×40589641000000     		ar = 91093.4537376179m²