Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68131 / 68743
↖ ↑ ↗
← S  8.773796°
E  7.127380°		 ← 301.85 m → S  8.773796°
E  7.130127°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.776511°
E  7.127380°		 ← 301.85 m →
91 116 m²		 S  8.776511°
E  7.130127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519802093505859 y=0.524471282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519802093505859 × 217)
    floor (0.519802093505859 × 131072)
    floor (68131.5)     		tx = 68131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524471282958984 × 217)
    floor (0.524471282958984 × 131072)
    floor (68743.5)     		ty = 68743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68131 / 68743 ti = "17/68131/68743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68131/68743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68131 ÷ 217
    68131 ÷ 131072     		x = 0.519798278808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68743 ÷ 217
    68743 ÷ 131072     		y = 0.524467468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519798278808594 × 2 - 1) × π
    0.0395965576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12439625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524467468261719 × 2 - 1) × π
    -0.0489349365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.15373363708152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12439625} λ = 0.12439625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15373363708152))-π/2
    2×atan(0.85750039690299)-π/2
    2×0.708832346874047-π/2
    1.41766469374809-1.57079632675     		φ = -0.15313163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12439625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.127380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15313163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.773796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68131 KachelY 68743 0.12439625 -0.15313163 7.127380 -8.773796
    Oben rechts KachelX + 1 68132 KachelY 68743 0.12444419 -0.15313163 7.130127 -8.773796
    Unten links KachelX 68131 KachelY + 1 68744 0.12439625 -0.15317901 7.127380 -8.776511
    Unten rechts KachelX + 1 68132 KachelY + 1 68744 0.12444419 -0.15317901 7.130127 -8.776511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15313163--0.15317901) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dl = 301.857980000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15313163--0.15317901) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dr = 301.857980000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12439625-0.12444419) × cos(-0.15313163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988298245274524 × 6371000     		do = 301.85172290365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12439625-0.12444419) × cos(-0.15317901) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988291017110952 × 6371000     		du = 301.849515236442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15313163)-sin(-0.15317901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988298245274524-0.988291017110952)×R²
    abs(0.12444419-0.12439625)×7.22816357268119e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.22816357268119e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.22816357268119e-06×40589641000000     		ar = 91116.0181513083m²