Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68127 / 68733
↖ ↑ ↗
← S  8.746651°
E  7.116394°		 ← 301.81 m → S  8.746651°
E  7.119140°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.749366°
E  7.116394°		 ← 301.81 m →
91 104 m²		 S  8.749366°
E  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519771575927734 y=0.524394989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519771575927734 × 217)
    floor (0.519771575927734 × 131072)
    floor (68127.5)     		tx = 68127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524394989013672 × 217)
    floor (0.524394989013672 × 131072)
    floor (68733.5)     		ty = 68733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68127 / 68733 ti = "17/68127/68733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68127/68733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68127 ÷ 217
    68127 ÷ 131072     		x = 0.519767761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68733 ÷ 217
    68733 ÷ 131072     		y = 0.524391174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519767761230469 × 2 - 1) × π
    0.0395355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12420451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524391174316406 × 2 - 1) × π
    -0.0487823486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.15325426808532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12420451} λ = 0.12420451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15325426808532))-π/2
    2×atan(0.857911554547735)-π/2
    2×0.709069235294502-π/2
    1.418138470589-1.57079632675     		φ = -0.15265786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12420451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.116394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15265786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.746651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68127 KachelY 68733 0.12420451 -0.15265786 7.116394 -8.746651
    Oben rechts KachelX + 1 68128 KachelY 68733 0.12425244 -0.15265786 7.119140 -8.746651
    Unten links KachelX 68127 KachelY + 1 68734 0.12420451 -0.15270524 7.116394 -8.749366
    Unten rechts KachelX + 1 68128 KachelY + 1 68734 0.12425244 -0.15270524 7.119140 -8.749366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15265786--0.15270524) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dl = 301.857979999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15265786--0.15270524) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dr = 301.857979999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12420451-0.12425244) × cos(-0.15265786) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988370400322853 × 6371000     		do = 301.810791834509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12420451-0.12425244) × cos(-0.15270524) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98836319434456 × 6371000     		du = 301.808591402349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15265786)-sin(-0.15270524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988370400322853-0.98836319434456)×R²
    abs(0.12425244-0.12420451)×7.2059782926237e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.2059782926237e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.2059782926237e-06×40589641000000     		ar = 91103.6638733786m²