Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68126 / 68878
↖ ↑ ↗
← S  9.140063°
E  7.113647°		 ← 301.55 m → S  9.140063°
E  7.116394°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.142775°
E  7.113647°		 ← 301.55 m →
90 928 m²		 S  9.142775°
E  7.116394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519763946533203 y=0.525501251220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519763946533203 × 217)
    floor (0.519763946533203 × 131072)
    floor (68126.5)     		tx = 68126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525501251220703 × 217)
    floor (0.525501251220703 × 131072)
    floor (68878.5)     		ty = 68878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68126 / 68878 ti = "17/68126/68878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68126/68878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68126 ÷ 217
    68126 ÷ 131072     		x = 0.519760131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68878 ÷ 217
    68878 ÷ 131072     		y = 0.525497436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519760131835938 × 2 - 1) × π
    0.039520263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12415657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525497436523438 × 2 - 1) × π
    -0.050994873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.160205118530228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12415657} λ = 0.12415657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160205118530228))-π/2
    2×atan(0.851969016409834)-π/2
    2×0.705636069595288-π/2
    1.41127213919058-1.57079632675     		φ = -0.15952419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12415657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.113647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15952419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.140063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68126 KachelY 68878 0.12415657 -0.15952419 7.113647 -9.140063
    Oben rechts KachelX + 1 68127 KachelY 68878 0.12420451 -0.15952419 7.116394 -9.140063
    Unten links KachelX 68126 KachelY + 1 68879 0.12415657 -0.15957152 7.113647 -9.142775
    Unten rechts KachelX + 1 68127 KachelY + 1 68879 0.12420451 -0.15957152 7.116394 -9.142775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15952419--0.15957152) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dl = 301.5394299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15952419--0.15957152) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dr = 301.5394299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12415657-0.12420451) × cos(-0.15952419) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.98730297681692 × 6371000     		do = 301.547742298575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12415657-0.12420451) × cos(-0.15957152) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.987295457413659 × 6371000     		du = 301.545445679269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15952419)-sin(-0.15957152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98730297681692-0.987295457413659)×R²
    abs(0.12420451-0.12415657)×7.51940326182421e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.51940326182421e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.51940326182421e-06×40589641000000     		ar = 90928.18808682m²