Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68125 / 68911
↖ ↑ ↗
← S  9.229538°
E  7.110901°		 ← 301.47 m → S  9.229538°
E  7.113647°		 →
↑
301.48 m
↓
↑
301.48 m
↓
S  9.232249°
E  7.110901°		 ← 301.47 m →
90 886 m²		 S  9.232249°
E  7.113647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519756317138672 y=0.525753021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519756317138672 × 217)
    floor (0.519756317138672 × 131072)
    floor (68125.5)     		tx = 68125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525753021240234 × 217)
    floor (0.525753021240234 × 131072)
    floor (68911.5)     		ty = 68911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68125 / 68911 ti = "17/68125/68911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68125/68911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68125 ÷ 217
    68125 ÷ 131072     		x = 0.519752502441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68911 ÷ 217
    68911 ÷ 131072     		y = 0.525749206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519752502441406 × 2 - 1) × π
    0.0395050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12410863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525749206542969 × 2 - 1) × π
    -0.0514984130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.16178703621769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12410863} λ = 0.12410863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.16178703621769))-π/2
    2×atan(0.850622337002427)-π/2
    2×0.704855251999509-π/2
    1.40971050399902-1.57079632675     		φ = -0.16108582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12410863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.110901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16108582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.229538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68125 KachelY 68911 0.12410863 -0.16108582 7.110901 -9.229538
    Oben rechts KachelX + 1 68126 KachelY 68911 0.12415657 -0.16108582 7.113647 -9.229538
    Unten links KachelX 68125 KachelY + 1 68912 0.12410863 -0.16113314 7.110901 -9.232249
    Unten rechts KachelX + 1 68126 KachelY + 1 68912 0.12415657 -0.16113314 7.113647 -9.232249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16108582--0.16113314) × R
    4.73200000000173e-05 × 6371000     		dl = 301.475720000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16108582--0.16113314) × R
    4.73200000000173e-05 × 6371000     		dr = 301.475720000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12410863-0.12415657) × cos(-0.16108582) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987053710541584 × 6371000     		do = 301.471609961886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12410863-0.12415657) × cos(-0.16113314) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98704611977868 × 6371000     		du = 301.469291547509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16108582)-sin(-0.16113314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987053710541584-0.98704611977868)×R²
    abs(0.12415657-0.12410863)×7.5907629040195e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.5907629040195e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.5907629040195e-06×40589641000000     		ar = 90886.0212169603m²