Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68124 / 72300
↖ ↑ ↗
← S 18.260653°
E  7.108155°		 ← 289.98 m → S 18.260653°
E  7.110901°		 →
↑
290.07 m
↓
↑
290.07 m
↓
S 18.263262°
E  7.108155°		 ← 289.98 m →
84 116 m²		 S 18.263262°
E  7.110901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519748687744141 y=0.551609039306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519748687744141 × 217)
    floor (0.519748687744141 × 131072)
    floor (68124.5)     		tx = 68124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551609039306641 × 217)
    floor (0.551609039306641 × 131072)
    floor (72300.5)     		ty = 72300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68124 / 72300 ti = "17/68124/72300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68124/72300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68124 ÷ 217
    68124 ÷ 131072     		x = 0.519744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72300 ÷ 217
    72300 ÷ 131072     		y = 0.551605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519744873046875 × 2 - 1) × π
    0.03948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12406070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.10321044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.32424518903006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12406070} λ = 0.12406070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.32424518903006))-π/2
    2×atan(0.723072931092702)-π/2
    2×0.626043901081455-π/2
    1.25208780216291-1.57079632675     		φ = -0.31870852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12406070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.108155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31870852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.260653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68124 KachelY 72300 0.12406070 -0.31870852 7.108155 -18.260653
    Oben rechts KachelX + 1 68125 KachelY 72300 0.12410863 -0.31870852 7.110901 -18.260653
    Unten links KachelX 68124 KachelY + 1 72301 0.12406070 -0.31875405 7.108155 -18.263262
    Unten rechts KachelX + 1 68125 KachelY + 1 72301 0.12410863 -0.31875405 7.110901 -18.263262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31870852--0.31875405) × R
    4.55300000000158e-05 × 6371000     		dl = 290.071630000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31870852--0.31875405) × R
    4.55300000000158e-05 × 6371000     		dr = 290.071630000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12406070-0.12410863) × cos(-0.31870852) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.949640882766672 × 6371000     		do = 289.984267732633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12406070-0.12410863) × cos(-0.31875405) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.949626615394879 × 6371000     		du = 289.979911019019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31870852)-sin(-0.31875405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949640882766672-0.949626615394879)×R²
    abs(0.12410863-0.12406070)×1.42673717931086e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.42673717931086e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.42673717931086e-05×40589641000000     		ar = 84115.5773505692m²