Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68123 / 68883
↖ ↑ ↗
← S  9.153621°
E  7.105408°		 ← 301.54 m → S  9.153621°
E  7.108155°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.156333°
E  7.105408°		 ← 301.53 m →
90 925 m²		 S  9.156333°
E  7.108155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519741058349609 y=0.525539398193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519741058349609 × 217)
    floor (0.519741058349609 × 131072)
    floor (68123.5)     		tx = 68123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525539398193359 × 217)
    floor (0.525539398193359 × 131072)
    floor (68883.5)     		ty = 68883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68123 / 68883 ti = "17/68123/68883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68123/68883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68123 ÷ 217
    68123 ÷ 131072     		x = 0.519737243652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68883 ÷ 217
    68883 ÷ 131072     		y = 0.525535583496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519737243652344 × 2 - 1) × π
    0.0394744873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12401276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525535583496094 × 2 - 1) × π
    -0.0510711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.160444803028328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12401276} λ = 0.12401276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160444803028328))-π/2
    2×atan(0.851764837114022)-π/2
    2×0.705517751239523-π/2
    1.41103550247905-1.57079632675     		φ = -0.15976082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12401276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.105408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15976082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.153621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68123 KachelY 68883 0.12401276 -0.15976082 7.105408 -9.153621
    Oben rechts KachelX + 1 68124 KachelY 68883 0.12406070 -0.15976082 7.108155 -9.153621
    Unten links KachelX 68123 KachelY + 1 68884 0.12401276 -0.15980815 7.105408 -9.156333
    Unten rechts KachelX + 1 68124 KachelY + 1 68884 0.12406070 -0.15980815 7.108155 -9.156333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15976082--0.15980815) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dl = 301.539430000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15976082--0.15980815) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dr = 301.539430000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12401276-0.12406070) × cos(-0.15976082) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98726536086573 × 6371000     		do = 301.53625341876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12401276-0.12406070) × cos(-0.15980815) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987257830405226 × 6371000     		du = 301.533953422288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15976082)-sin(-0.15980815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98726536086573-0.987257830405226)×R²
    abs(0.12406070-0.12401276)×7.53046050427919e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.53046050427919e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.53046050427919e-06×40589641000000     		ar = 90924.7232274126m²