Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68121 / 68633
↖ ↑ ↗
← S  8.475089°
E  7.099915°		 ← 302.03 m → S  8.475089°
E  7.102661°		 →
↑
302.05 m
↓
↑
302.05 m
↓
S  8.477806°
E  7.099915°		 ← 302.03 m →
91 227 m²		 S  8.477806°
E  7.102661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519725799560547 y=0.523632049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519725799560547 × 217)
    floor (0.519725799560547 × 131072)
    floor (68121.5)     		tx = 68121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523632049560547 × 217)
    floor (0.523632049560547 × 131072)
    floor (68633.5)     		ty = 68633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68121 / 68633 ti = "17/68121/68633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68121/68633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68121 ÷ 217
    68121 ÷ 131072     		x = 0.519721984863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68633 ÷ 217
    68633 ÷ 131072     		y = 0.523628234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519721984863281 × 2 - 1) × π
    0.0394439697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12391689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523628234863281 × 2 - 1) × π
    -0.0472564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.148460578123314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12391689} λ = 0.12391689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148460578123314))-π/2
    2×atan(0.862033989498304)-π/2
    2×0.711439060704908-π/2
    1.42287812140982-1.57079632675     		φ = -0.14791821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12391689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.099915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14791821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.475089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68121 KachelY 68633 0.12391689 -0.14791821 7.099915 -8.475089
    Oben rechts KachelX + 1 68122 KachelY 68633 0.12396482 -0.14791821 7.102661 -8.475089
    Unten links KachelX 68121 KachelY + 1 68634 0.12391689 -0.14796562 7.099915 -8.477806
    Unten rechts KachelX + 1 68122 KachelY + 1 68634 0.12396482 -0.14796562 7.102661 -8.477806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14791821--0.14796562) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dl = 302.049109999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14791821--0.14796562) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dr = 302.049109999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12391689-0.12396482) × cos(-0.14791821) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989080033929337 × 6371000     		do = 302.027486993141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12391689-0.12396482) × cos(-0.14796562) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989073045560575 × 6371000     		du = 302.02535301067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14791821)-sin(-0.14796562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989080033929337-0.989073045560575)×R²
    abs(0.12396482-0.12391689)×6.9883687621175e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.9883687621175e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.9883687621175e-06×40589641000000     		ar = 91226.8113751257m²