Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6812 / 1617
↖ ↑ ↗
← N 80.813383°
W 30.322266°		 ← 390.06 m → N 80.813383°
W 30.300293°		 →
↑
390.10 m
↓
↑
390.10 m
↓
N 80.809875°
W 30.322266°		 ← 390.21 m →
152 190 m²		 N 80.809875°
W 30.300293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415802001953125 y=0.098724365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415802001953125 × 214)
    floor (0.415802001953125 × 16384)
    floor (6812.5)     		tx = 6812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.098724365234375 × 214)
    floor (0.098724365234375 × 16384)
    floor (1617.5)     		ty = 1617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6812 / 1617 ti = "14/6812/1617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6812/1617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6812 ÷ 214
    6812 ÷ 16384     		x = 0.415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1617 ÷ 214
    1617 ÷ 16384     		y = 0.09869384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.16845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52922337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09869384765625 × 2 - 1) × π
    0.8026123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52148092001495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52922337} λ = -0.52922337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52148092001495))-π/2
    2×atan(12.447016056592)-π/2
    2×1.49062797516282-π/2
    2.98125595032563-1.57079632675     		φ = 1.41045962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52922337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.322266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41045962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.813383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6812 KachelY 1617 -0.52922337 1.41045962 -30.322266 80.813383
    Oben rechts KachelX + 1 6813 KachelY 1617 -0.52883988 1.41045962 -30.300293 80.813383
    Unten links KachelX 6812 KachelY + 1 1618 -0.52922337 1.41039839 -30.322266 80.809875
    Unten rechts KachelX + 1 6813 KachelY + 1 1618 -0.52883988 1.41039839 -30.300293 80.809875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41045962-1.41039839) × R
    6.12300000000232e-05 × 6371000     		dl = 390.096330000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41045962-1.41039839) × R
    6.12300000000232e-05 × 6371000     		dr = 390.096330000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52922337--0.52883988) × cos(1.41045962) × R
    0.000383489999999931 × 0.159650603711316 × 6371000     		do = 390.060716219845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52922337--0.52883988) × cos(1.41039839) × R
    0.000383489999999931 × 0.159711048050546 × 6371000     		du = 390.208394723424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41045962)-sin(1.41039839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159650603711316-0.159711048050546)×R²
    abs(-0.52883988--0.52922337)×6.04443392299148e-05×R²
    0.000383489999999931×6.04443392299148e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.04443392299148e-05×40589641000000     		ar = 152190.058342688m²