Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6812 / 1500
↖ ↑ ↗
← N 81.214853°
W 30.322266°		 ← 373.15 m → N 81.214853°
W 30.300293°		 →
↑
373.21 m
↓
↑
373.21 m
↓
N 81.211497°
W 30.322266°		 ← 373.29 m →
139 291 m²		 N 81.211497°
W 30.300293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415802001953125 y=0.091583251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415802001953125 × 214)
    floor (0.415802001953125 × 16384)
    floor (6812.5)     		tx = 6812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.091583251953125 × 214)
    floor (0.091583251953125 × 16384)
    floor (1500.5)     		ty = 1500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6812 / 1500 ti = "14/6812/1500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6812/1500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6812 ÷ 214
    6812 ÷ 16384     		x = 0.415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1500 ÷ 214
    1500 ÷ 16384     		y = 0.091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.16845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52922337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091552734375 × 2 - 1) × π
    0.81689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56634985805933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52922337} λ = -0.52922337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56634985805933))-π/2
    2×atan(13.0182192628376)-π/2
    2×1.49413145855053-π/2
    2.98826291710106-1.57079632675     		φ = 1.41746659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52922337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.322266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41746659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.214853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6812 KachelY 1500 -0.52922337 1.41746659 -30.322266 81.214853
    Oben rechts KachelX + 1 6813 KachelY 1500 -0.52883988 1.41746659 -30.300293 81.214853
    Unten links KachelX 6812 KachelY + 1 1501 -0.52922337 1.41740801 -30.322266 81.211497
    Unten rechts KachelX + 1 6813 KachelY + 1 1501 -0.52883988 1.41740801 -30.300293 81.211497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41746659-1.41740801) × R
    5.85800000001413e-05 × 6371000     		dl = 373.2131800009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41746659-1.41740801) × R
    5.85800000001413e-05 × 6371000     		dr = 373.2131800009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52922337--0.52883988) × cos(1.41746659) × R
    0.000383489999999931 × 0.152729645409231 × 6371000     		do = 373.151328535221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52922337--0.52883988) × cos(1.41740801) × R
    0.000383489999999931 × 0.152787537887045 × 6371000     		du = 373.292772293247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41746659)-sin(1.41740801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152729645409231-0.152787537887045)×R²
    abs(-0.52883988--0.52922337)×5.7892477814292e-05×R²
    0.000383489999999931×5.7892477814292e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.7892477814292e-05×40589641000000     		ar = 139291.388320171m²