Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68116 / 69359
↖ ↑ ↗
← S 10.441897°
E  7.086182°		 ← 300.37 m → S 10.441897°
E  7.088928°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.444598°
E  7.086182°		 ← 300.37 m →
90 209 m²		 S 10.444598°
E  7.088928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519687652587891 y=0.529170989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519687652587891 × 217)
    floor (0.519687652587891 × 131072)
    floor (68116.5)     		tx = 68116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529170989990234 × 217)
    floor (0.529170989990234 × 131072)
    floor (69359.5)     		ty = 69359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68116 / 69359 ti = "17/68116/69359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68116/69359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68116 ÷ 217
    68116 ÷ 131072     		x = 0.519683837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69359 ÷ 217
    69359 ÷ 131072     		y = 0.529167175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519683837890625 × 2 - 1) × π
    0.03936767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12367720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529167175292969 × 2 - 1) × π
    -0.0583343505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.183262767247475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12367720} λ = 0.12367720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183262767247475))-π/2
    2×atan(0.832549360288421)-π/2
    2×0.694275425155988-π/2
    1.38855085031198-1.57079632675     		φ = -0.18224548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12367720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.086182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18224548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.441897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68116 KachelY 69359 0.12367720 -0.18224548 7.086182 -10.441897
    Oben rechts KachelX + 1 68117 KachelY 69359 0.12372514 -0.18224548 7.088928 -10.441897
    Unten links KachelX 68116 KachelY + 1 69360 0.12367720 -0.18229262 7.086182 -10.444598
    Unten rechts KachelX + 1 68117 KachelY + 1 69360 0.12372514 -0.18229262 7.088928 -10.444598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18224548--0.18229262) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18224548--0.18229262) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12367720-0.12372514) × cos(-0.18224548) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983439205441752 × 6371000     		do = 300.367647067036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12367720-0.12372514) × cos(-0.18229262) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983430660774588 × 6371000     		du = 300.365037305745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18224548)-sin(-0.18229262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983439205441752-0.983430660774588)×R²
    abs(0.12372514-0.12367720)×8.54466716415647e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.54466716415647e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.54466716415647e-06×40589641000000     		ar = 90208.7051772165m²