Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68114 / 69346
↖ ↑ ↗
← S 10.406780°
E  7.080689°		 ← 300.34 m → S 10.406780°
E  7.083435°		 →
↑
300.39 m
↓
↑
300.39 m
↓
S 10.409482°
E  7.080689°		 ← 300.34 m →
90 219 m²		 S 10.409482°
E  7.083435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519672393798828 y=0.529071807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519672393798828 × 217)
    floor (0.519672393798828 × 131072)
    floor (68114.5)     		tx = 68114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529071807861328 × 217)
    floor (0.529071807861328 × 131072)
    floor (69346.5)     		ty = 69346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68114 / 69346 ti = "17/68114/69346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68114/69346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68114 ÷ 217
    68114 ÷ 131072     		x = 0.519668579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69346 ÷ 217
    69346 ÷ 131072     		y = 0.529067993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519668579101562 × 2 - 1) × π
    0.039337158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12358133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529067993164062 × 2 - 1) × π
    -0.058135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.182639587552414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12358133} λ = 0.12358133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182639587552414))-π/2
    2×atan(0.833068349839968)-π/2
    2×0.694581872114435-π/2
    1.38916374422887-1.57079632675     		φ = -0.18163258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12358133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.080689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18163258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.406780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68114 KachelY 69346 0.12358133 -0.18163258 7.080689 -10.406780
    Oben rechts KachelX + 1 68115 KachelY 69346 0.12362926 -0.18163258 7.083435 -10.406780
    Unten links KachelX 68114 KachelY + 1 69347 0.12358133 -0.18167973 7.080689 -10.409482
    Unten rechts KachelX + 1 68115 KachelY + 1 69347 0.12362926 -0.18167973 7.083435 -10.409482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18163258--0.18167973) × R
    4.71500000000236e-05 × 6371000     		dl = 300.39265000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18163258--0.18167973) × R
    4.71500000000236e-05 × 6371000     		dr = 300.39265000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12358133-0.12362926) × cos(-0.18163258) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983550101689381 × 6371000     		do = 300.338855658586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12358133-0.12362926) × cos(-0.18167973) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983541583630507 × 6371000     		du = 300.336254566836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18163258)-sin(-0.18167973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983550101689381-0.983541583630507)×R²
    abs(0.12362926-0.12358133)×8.51805887391865e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.51805887391865e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.51805887391865e-06×40589641000000     		ar = 90219.1940915927m²