Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68104 / 68943
↖ ↑ ↗
← S  9.316280°
E  7.053223°		 ← 301.40 m → S  9.316280°
E  7.055970°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.318990°
E  7.053223°		 ← 301.39 m →
90 825 m²		 S  9.318990°
E  7.055970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519596099853516 y=0.525997161865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519596099853516 × 217)
    floor (0.519596099853516 × 131072)
    floor (68104.5)     		tx = 68104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525997161865234 × 217)
    floor (0.525997161865234 × 131072)
    floor (68943.5)     		ty = 68943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68104 / 68943 ti = "17/68104/68943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68104/68943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68104 ÷ 217
    68104 ÷ 131072     		x = 0.51959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68943 ÷ 217
    68943 ÷ 131072     		y = 0.525993347167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51959228515625 × 2 - 1) × π
    0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525993347167969 × 2 - 1) × π
    -0.0519866943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.163321017005531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12310196} λ = 0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.163321017005531))-π/2
    2×atan(0.849318498966676)-π/2
    2×0.704098284698948-π/2
    1.4081965693979-1.57079632675     		φ = -0.16259976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16259976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.316280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68104 KachelY 68943 0.12310196 -0.16259976 7.053223 -9.316280
    Oben rechts KachelX + 1 68105 KachelY 68943 0.12314990 -0.16259976 7.055970 -9.316280
    Unten links KachelX 68104 KachelY + 1 68944 0.12310196 -0.16264706 7.053223 -9.318990
    Unten rechts KachelX + 1 68105 KachelY + 1 68944 0.12314990 -0.16264706 7.055970 -9.318990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16259976--0.16264706) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16259976--0.16264706) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12310196-0.12314990) × cos(-0.16259976) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.986809758531029 × 6371000     		do = 301.397100738625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12310196-0.12314990) × cos(-0.16264706) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.986802100303568 × 6371000     		du = 301.394761718835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16259976)-sin(-0.16264706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986809758531029-0.986802100303568)×R²
    abs(0.12314990-0.12310196)×7.65822746129352e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.65822746129352e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.65822746129352e-06×40589641000000     		ar = 90825.1515196284m²