Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68104 / 68942
↖ ↑ ↗
← S  9.313569°
E  7.053223°		 ← 301.40 m → S  9.313569°
E  7.055970°		 →
↑
301.41 m
↓
↑
301.41 m
↓
S  9.316280°
E  7.053223°		 ← 301.40 m →
90 845 m²		 S  9.316280°
E  7.055970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519596099853516 y=0.525989532470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519596099853516 × 217)
    floor (0.519596099853516 × 131072)
    floor (68104.5)     		tx = 68104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525989532470703 × 217)
    floor (0.525989532470703 × 131072)
    floor (68942.5)     		ty = 68942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68104 / 68942 ti = "17/68104/68942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68104/68942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68104 ÷ 217
    68104 ÷ 131072     		x = 0.51959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68942 ÷ 217
    68942 ÷ 131072     		y = 0.525985717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51959228515625 × 2 - 1) × π
    0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525985717773438 × 2 - 1) × π
    -0.051971435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.163273080105911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12310196} λ = 0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.163273080105911))-π/2
    2×atan(0.849359213638167)-π/2
    2×0.704121937090892-π/2
    1.40824387418178-1.57079632675     		φ = -0.16255245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16255245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.313569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68104 KachelY 68942 0.12310196 -0.16255245 7.053223 -9.313569
    Oben rechts KachelX + 1 68105 KachelY 68942 0.12314990 -0.16255245 7.055970 -9.313569
    Unten links KachelX 68104 KachelY + 1 68943 0.12310196 -0.16259976 7.053223 -9.316280
    Unten rechts KachelX + 1 68105 KachelY + 1 68943 0.12314990 -0.16259976 7.055970 -9.316280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16255245--0.16259976) × R
    4.73100000000226e-05 × 6371000     		dl = 301.412010000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16255245--0.16259976) × R
    4.73100000000226e-05 × 6371000     		dr = 301.412010000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12310196-0.12314990) × cos(-0.16255245) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.986817416169086 × 6371000     		do = 301.399439578395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12310196-0.12314990) × cos(-0.16259976) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.986809758531029 × 6371000     		du = 301.397100738625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16255245)-sin(-0.16259976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986817416169086-0.986809758531029)×R²
    abs(0.12314990-0.12310196)×7.65763805699038e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.65763805699038e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.65763805699038e-06×40589641000000     		ar = 90845.0584359814m²