Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68102 / 98822
↖ ↑ ↗
← S 67.073854°
E  7.047729°		 ← 118.98 m → S 67.073854°
E  7.050476°		 →
↑
118.95 m
↓
↑
118.95 m
↓
S 67.074923°
E  7.047729°		 ← 118.97 m →
14 152 m²		 S 67.074923°
E  7.050476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519580841064453 y=0.753955841064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519580841064453 × 217)
    floor (0.519580841064453 × 131072)
    floor (68102.5)     		tx = 68102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753955841064453 × 217)
    floor (0.753955841064453 × 131072)
    floor (98822.5)     		ty = 98822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68102 / 98822 ti = "17/68102/98822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68102/98822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68102 ÷ 217
    68102 ÷ 131072     		x = 0.519577026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98822 ÷ 217
    98822 ÷ 131072     		y = 0.753952026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519577026367188 × 2 - 1) × π
    0.039154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12300608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753952026367188 × 2 - 1) × π
    -0.507904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59562764075319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12300608} λ = 0.12300608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59562764075319))-π/2
    2×atan(0.2027812147987)-π/2
    2×0.200068368931177-π/2
    0.400136737862354-1.57079632675     		φ = -1.17065959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12300608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.047729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17065959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.073854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68102 KachelY 98822 0.12300608 -1.17065959 7.047729 -67.073854
    Oben rechts KachelX + 1 68103 KachelY 98822 0.12305402 -1.17065959 7.050476 -67.073854
    Unten links KachelX 68102 KachelY + 1 98823 0.12300608 -1.17067826 7.047729 -67.074923
    Unten rechts KachelX + 1 68103 KachelY + 1 98823 0.12305402 -1.17067826 7.050476 -67.074923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17065959--1.17067826) × R
    1.86699999999984e-05 × 6371000     		dl = 118.94656999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17065959--1.17067826) × R
    1.86699999999984e-05 × 6371000     		dr = 118.94656999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12300608-0.12305402) × cos(-1.17065959) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.389544281596014 × 6371000     		do = 118.976850469222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12300608-0.12305402) × cos(-1.17067826) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.389527086313663 × 6371000     		du = 118.971598587385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17065959)-sin(-1.17067826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389544281596014-0.389527086313663)×R²
    abs(0.12305402-0.12300608)×1.71952823510568e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.71952823510568e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71952823510568e-05×40589641000000     		ar = 14151.5759265447m²