Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68101 / 99292
↖ ↑ ↗
← S 67.571526°
E  7.044983°		 ← 116.50 m → S 67.571526°
E  7.047729°		 →
↑
116.53 m
↓
↑
116.53 m
↓
S 67.572574°
E  7.044983°		 ← 116.50 m →
13 575 m²		 S 67.572574°
E  7.047729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519573211669922 y=0.757541656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519573211669922 × 217)
    floor (0.519573211669922 × 131072)
    floor (68101.5)     		tx = 68101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757541656494141 × 217)
    floor (0.757541656494141 × 131072)
    floor (99292.5)     		ty = 99292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68101 / 99292 ti = "17/68101/99292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68101/99292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68101 ÷ 217
    68101 ÷ 131072     		x = 0.519569396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99292 ÷ 217
    99292 ÷ 131072     		y = 0.757537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519569396972656 × 2 - 1) × π
    0.0391387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12295815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757537841796875 × 2 - 1) × π
    -0.51507568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61815798357462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12295815} λ = 0.12295815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61815798357462))-π/2
    2×atan(0.198263567681697)-π/2
    2×0.195725357212926-π/2
    0.391450714425852-1.57079632675     		φ = -1.17934561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12295815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.044983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17934561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.571526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68101 KachelY 99292 0.12295815 -1.17934561 7.044983 -67.571526
    Oben rechts KachelX + 1 68102 KachelY 99292 0.12300608 -1.17934561 7.047729 -67.571526
    Unten links KachelX 68101 KachelY + 1 99293 0.12295815 -1.17936390 7.044983 -67.572574
    Unten rechts KachelX + 1 68102 KachelY + 1 99293 0.12300608 -1.17936390 7.047729 -67.572574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17934561--1.17936390) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dl = 116.525590000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17934561--1.17936390) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dr = 116.525590000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12295815-0.12300608) × cos(-1.17934561) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.381529795691152 × 6371000     		do = 116.504712917739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12295815-0.12300608) × cos(-1.17936390) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.381512889146202 × 6371000     		du = 116.499550300853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17934561)-sin(-1.17936390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381529795691152-0.381512889146202)×R²
    abs(0.12300608-0.12295815)×1.69065449505679e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.69065449505679e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.69065449505679e-05×40589641000000     		ar = 13575.4796225401m²