Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68100 / 69036
↖ ↑ ↗
← S  9.568251°
E  7.042236°		 ← 301.18 m → S  9.568251°
E  7.044983°		 →
↑
301.16 m
↓
↑
301.16 m
↓
S  9.570959°
E  7.042236°		 ← 301.17 m →
90 701 m²		 S  9.570959°
E  7.044983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519565582275391 y=0.526706695556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519565582275391 × 217)
    floor (0.519565582275391 × 131072)
    floor (68100.5)     		tx = 68100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526706695556641 × 217)
    floor (0.526706695556641 × 131072)
    floor (69036.5)     		ty = 69036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68100 / 69036 ti = "17/68100/69036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68100/69036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68100 ÷ 217
    68100 ÷ 131072     		x = 0.519561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69036 ÷ 217
    69036 ÷ 131072     		y = 0.526702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519561767578125 × 2 - 1) × π
    0.03912353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12291021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.05340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.167779148670197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12291021} λ = 0.12291021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167779148670197))-π/2
    2×atan(0.845540552820919)-π/2
    2×0.701899421430313-π/2
    1.40379884286063-1.57079632675     		φ = -0.16699748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12291021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.042236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16699748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.568251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68100 KachelY 69036 0.12291021 -0.16699748 7.042236 -9.568251
    Oben rechts KachelX + 1 68101 KachelY 69036 0.12295815 -0.16699748 7.044983 -9.568251
    Unten links KachelX 68100 KachelY + 1 69037 0.12291021 -0.16704475 7.042236 -9.570959
    Unten rechts KachelX + 1 68101 KachelY + 1 69037 0.12295815 -0.16704475 7.044983 -9.570959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16699748--0.16704475) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dl = 301.157169999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16699748--0.16704475) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dr = 301.157169999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12291021-0.12295815) × cos(-0.16699748) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986088296950777 × 6371000     		do = 301.176747801508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12291021-0.12295815) × cos(-0.16704475) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986080438518473 × 6371000     		du = 301.174347634006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16699748)-sin(-0.16704475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986088296950777-0.986080438518473)×R²
    abs(0.12295815-0.12291021)×7.85843230444172e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.85843230444172e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.85843230444172e-06×40589641000000     		ar = 90701.1756407355m²