Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6810 / 6327
↖ ↑ ↗
← S 69.519147°
E119.267578°		 ← 1 709.76 m → S 69.519147°
E119.311523°		 →
↑
1 709.15 m
↓
↑
1 709.15 m
↓
S 69.534518°
E119.267578°		 ← 1 708.53 m →
2 921 177 m²		 S 69.534518°
E119.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.83135986328125 y=0.77239990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.83135986328125 × 213)
    floor (0.83135986328125 × 8192)
    floor (6810.5)     		tx = 6810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77239990234375 × 213)
    floor (0.77239990234375 × 8192)
    floor (6327.5)     		ty = 6327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6810 / 6327 ti = "13/6810/6327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6810/6327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6810 ÷ 213
    6810 ÷ 8192     		x = 0.831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6327 ÷ 213
    6327 ÷ 8192     		y = 0.7723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831298828125 × 2 - 1) × π
    0.66259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08161193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.544677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71115556883752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08161193} λ = 2.08161193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71115556883752))-π/2
    2×atan(0.180656910455502)-π/2
    2×0.178729159790245-π/2
    0.35745831958049-1.57079632675     		φ = -1.21333801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08161193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21333801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.519147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6810 KachelY 6327 2.08161193 -1.21333801 119.267578 -69.519147
    Oben rechts KachelX + 1 6811 KachelY 6327 2.08237892 -1.21333801 119.311523 -69.519147
    Unten links KachelX 6810 KachelY + 1 6328 2.08161193 -1.21360628 119.267578 -69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 6811 KachelY + 1 6328 2.08237892 -1.21360628 119.311523 -69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21333801--1.21360628) × R
    0.00026827000000007 × 6371000     		dl = 1709.14817000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21333801--1.21360628) × R
    0.00026827000000007 × 6371000     		dr = 1709.14817000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08161193-2.08237892) × cos(-1.21333801) × R
    0.000766989999999801 × 0.349894344725622 × 6371000     		do = 1709.75636771025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08161193-2.08237892) × cos(-1.21360628) × R
    0.000766989999999801 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 1708.52826969549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21333801)-sin(-1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349894344725622-0.349643019707478)×R²
    abs(2.08237892-2.08161193)×0.000251325018143456×R²
    0.000766989999999801×0.000251325018143456×6371000²
    0.000766989999999801×0.000251325018143456×40589641000000     		ar = 2921177.48380363m²