Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68099 / 69037
↖ ↑ ↗
← S  9.570959°
E  7.039490°		 ← 301.17 m → S  9.570959°
E  7.042236°		 →
↑
301.16 m
↓
↑
301.16 m
↓
S  9.573668°
E  7.039490°		 ← 301.17 m →
90 700 m²		 S  9.573668°
E  7.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519557952880859 y=0.526714324951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519557952880859 × 217)
    floor (0.519557952880859 × 131072)
    floor (68099.5)     		tx = 68099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526714324951172 × 217)
    floor (0.526714324951172 × 131072)
    floor (69037.5)     		ty = 69037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68099 / 69037 ti = "17/68099/69037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68099/69037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68099 ÷ 217
    68099 ÷ 131072     		x = 0.519554138183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69037 ÷ 217
    69037 ÷ 131072     		y = 0.526710510253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519554138183594 × 2 - 1) × π
    0.0391082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12286227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526710510253906 × 2 - 1) × π
    -0.0534210205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.167827085569817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12286227} λ = 0.12286227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167827085569817))-π/2
    2×atan(0.845500021199801)-π/2
    2×0.701875786516648-π/2
    1.4037515730333-1.57079632675     		φ = -0.16704475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12286227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.039490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16704475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.570959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68099 KachelY 69037 0.12286227 -0.16704475 7.039490 -9.570959
    Oben rechts KachelX + 1 68100 KachelY 69037 0.12291021 -0.16704475 7.042236 -9.570959
    Unten links KachelX 68099 KachelY + 1 69038 0.12286227 -0.16709202 7.039490 -9.573668
    Unten rechts KachelX + 1 68100 KachelY + 1 69038 0.12291021 -0.16709202 7.042236 -9.573668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16704475--0.16709202) × R
    4.72700000000159e-05 × 6371000     		dl = 301.157170000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16704475--0.16709202) × R
    4.72700000000159e-05 × 6371000     		dr = 301.157170000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12286227-0.12291021) × cos(-0.16704475) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.986080438518473 × 6371000     		do = 301.174347634093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12286227-0.12291021) × cos(-0.16709202) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.986072577882818 × 6371000     		du = 301.171946793631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16704475)-sin(-0.16709202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986080438518473-0.986072577882818)×R²
    abs(0.12291021-0.12286227)×7.86063565472173e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.86063565472173e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.86063565472173e-06×40589641000000     		ar = 90700.4527118753m²