Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68099 / 42485
↖ ↑ ↗
← N 53.348912°
E  7.039490°		 ← 182.32 m → N 53.348912°
E  7.042236°		 →
↑
182.27 m
↓
↑
182.27 m
↓
N 53.347272°
E  7.039490°		 ← 182.33 m →
33 233 m²		 N 53.347272°
E  7.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519557952880859 y=0.324138641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519557952880859 × 217)
    floor (0.519557952880859 × 131072)
    floor (68099.5)     		tx = 68099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324138641357422 × 217)
    floor (0.324138641357422 × 131072)
    floor (42485.5)     		ty = 42485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68099 / 42485 ti = "17/68099/42485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68099/42485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68099 ÷ 217
    68099 ÷ 131072     		x = 0.519554138183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42485 ÷ 217
    42485 ÷ 131072     		y = 0.324134826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519554138183594 × 2 - 1) × π
    0.0391082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12286227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324134826660156 × 2 - 1) × π
    0.351730346679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.10499347314191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12286227} λ = 0.12286227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10499347314191))-π/2
    2×atan(3.01920476282124)-π/2
    2×1.25095524505546-π/2
    2.50191049011091-1.57079632675     		φ = 0.93111416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12286227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.039490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93111416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.348912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68099 KachelY 42485 0.12286227 0.93111416 7.039490 53.348912
    Oben rechts KachelX + 1 68100 KachelY 42485 0.12291021 0.93111416 7.042236 53.348912
    Unten links KachelX 68099 KachelY + 1 42486 0.12286227 0.93108555 7.039490 53.347272
    Unten rechts KachelX + 1 68100 KachelY + 1 42486 0.12291021 0.93108555 7.042236 53.347272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93111416-0.93108555) × R
    2.86099999999845e-05 × 6371000     		dl = 182.274309999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93111416-0.93108555) × R
    2.86099999999845e-05 × 6371000     		dr = 182.274309999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12286227-0.12291021) × cos(0.93111416) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.596940478537428 × 6371000     		do = 182.320987393287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12286227-0.12291021) × cos(0.93108555) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.596963431682013 × 6371000     		du = 182.327997874457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93111416)-sin(0.93108555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596940478537428-0.596963431682013)×R²
    abs(0.12291021-0.12286227)×2.2953144585669e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.2953144585669e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.2953144585669e-05×40589641000000     		ar = 33233.0710930535m²